高校数学問題bot

※現在ほとんど放置状態ですがDMやリプライなど時間があるときに拝見させていただいてます

[高校数学問題bot @7k_x]

#暇なのでいいねしたひとに何か言います

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実数に対し定義され実数値をとる関数fとgの組であって以下の条件を満たすものを求めよ.
条件1：任意の実数x,yに対し，f(g(x)+y)=g(f(y)+x)
条件2：g(x)=g(y)ならばx=y.

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3辺の長さがいずれも1を超えない三角形は半径1/√3の円に含めることを示せ

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5つの素数の積であるカーマイケル数を1つ見つけよ

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A，B，C 3人がいて，それぞれ赤札と白札を1枚ずつ持っている．この状態から次のような札の移動を何度か行うことにした．各回の移動では，AはBに，BはCに，CはAに持ち札のどちらか一枚を渡す．このような移動をn回行って，最初の状態になっている確率を求めよ．

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pを自然数nより大きい素数とする．整数a_1,a_2,…,a_nに対して，
Σ[i=1,n](a_i)，Σ[i=1,n] (a_i)²，…,Σ[i=1,n] (a_i)^n
が全てpの倍数のとき，a_1,a_2,…,a_nは全てpの倍数であることを示せ．

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ガウス整数の素因数分解の一意性を証明せよ

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非負整数の全体の集合をZ>0と表すことにする．
f:(Z>0)→(Z>0)なる写像fであって，
f(f(n))=n+1987 (n∈Z>0)を満たすものは存在しないことを示せ．

(ちなみに1987は私が好きな素数で，この問題の最後の鍵を握っています)

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次の条件を満たす正整数nが無数に存在することを示せ．条件：n²+1は2n+√(2n)より大きい素因数を持つ

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x³+y³+z³＝1なる実数x,y,zについて、x²y+yz²として考えられる最大の値を求めよ

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2x²+3y²＝8のとき、4x+3y²の最大値および最小値を求めよ

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整数nに対して，[√(x²+y)]=nを満たす正整数の組(x,y)の個数を求めよ

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1をいくつか連続して並べた整数1111…1の中には、1953で割り切れるものが存在することを示せ

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次の条件を満たす正整数nが無数に存在することを示せ．条件：n²+1は2n+√(2n)より大きい素因数を持つ

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3辺の長さが整数の直角三角形があり、うち2辺の長さは素数である。この直角三角形の周囲の長さが132の時、3辺のそれぞれの長さを求めよ

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正の整数a,b,cが0＜a²+b²-abc≦cを満たすならばa²+b²-abcは平方数であることを示せ

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cos(2π/7)の小数点第1位の数を求めよ

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x≦y≦zなる自然数x,y,zについて
xy+yz+zx=19を満たしている
(x,y,z)の組を全て求めよ

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(1/r)+(1/s)=1を満たす無理数r,sに対してm,n=1,2,…で数列[mr]，[ns]を定める．任意の正整数はこの二つの数列のうちどちらか1つだけに必ず含まれていることを示せ．

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実数に対して定義され実数値をとる関数fであって，任意の実数x,yに対して
f(xf(x)+f(y))＝(f(x))²+yを満たすようなものをすべて求めよ

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p,qを互いに素な正整数とする。
x＞p,qなる任意の整数xは、適当な正整数a,bを用いてx＝ap+bqと表せることを証明せよ