수학 문제 bot

@solove_math (DR), @NAmathbot (NA)의 문제들을 번역하여 올려요. +약간의 자작 문제+제보된 문제! 가끔씩 수학에 관한 이야기를 합니다.

[수학 문제 bot @MathQ_kr]

Q48 ★1
한 변의 길이가 3인 정사각형의 내부에 10개의 점을 둘 떄, 반드시 두 점 사이의 거리가 √2 이하가 되는 점이 존재함을 증명하시오.

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DR210 ★7
w를 0이 아닌 복소수, x, y를 w+1/w=x+yi를 만족하는 실수로 놓는다.
⑴ 실수 R>1을 잡는다. w가 절댓값이 R인 복소수에서 움직일 때, xy평면 위의 점 (x,y)의 궤적을 구하시오.
⑵ 실수 0<α<π/2를 잡는다. w가 편각이 α인 복소수에서 움직일 때, xy평면 위의 점 (x,y)의 궤적을 구하시오.

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Q17 ★3
삼각함수의 덧셈정리라 불리는 다음 세 항등식을, 삼각형을 이용하여 증명하시오.
sin(α±β)=sin(α)cos(β)±cos(α)sin(β)
cos(α±β)=cos(α)cos(β)∓sin(α)sin(β)
tan(α±β)=(tan(α)±tan(β))/(1∓tan(α)tan(β))

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DR117 ★1
실수 a, b에 대하여, a²+b²<0⇒(a+b)²<0이라는 명제가 참인지 거짓인지 답하시오. 또한, 참일 때는 증명을, 거짓일 때는 반례를 대시오.

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DR94 ★4
단위원에 내접하는 정이천십육각형에 그을 수 있는 대각선 중, 길이가 1 이상인 것은 몇 개인가.

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DR163 ★7
4 이상의 정수 N과 N 이하의 정수 n에 대하여, S_n=n ∑[k=n,N] 1/k로 둔다.
⑴ S_n을 가장 크게 만드는 n은 하나 또는 둘 존재함을 증명하시오.
⑵ ⑴에서의 n 중 하나를 i라 하자. lim[N→∞] Sⁱ/Nᵅ이 0이 아닌 값으로 수렴하기 위한 실수 상수 α 및 그때의 값을 구하시오.

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DR19 ★0
자신의 계산에 자신감을 가지는 건 중요하다고 말할 수 있다. 여기서 △ABC에 대하여, BC=2, CA=√6, ∠CAB=60°일 때, 남은 변의 길이와 각의 크기를 구하시오.

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[제곱잉여]
n²≡0,1 (mod 3)
n²≡0,1 (mod 4)
n²≡0,±1 (mod 5)
n³≡0,±1 (mod 7)
n²≡0,1,4 (mod 8)
n³≡0,±1 (mod 9)
n⁴≡0,1 (mod 16)

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DR41 ★6
x²+y²≤1을 만족하는 실수 x,y가 있다. m≥0에서 m(x+y)+xy의 최솟값 및 최댓값을 구하시오.

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DR140 ★4
높이가 충분히 큰 반지름 1의 원기둥을, 밑면의 지름을 포함하며 또한 밑면과 각 α∈(0,π/2)를 이루는 평면으로 잘라 생기는 작은 부분의 입체 K를 생각한다. K의 부피와 표면적을 구하시오.

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(쉬는시간)
a≡b(mod n)이란, 소위 ‘법 앞의 평등’이죠.

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DR185 ★3
구간 [a,b] 위에서 정의된 연속 함수 f, g가 있다. 정의역 위에서 f의 최댓값이 g의 최댓값보다 크고, f의 최솟값이 g의 최솟값보다 작다면, 방정식 f(x)=g(x)는 정의역 내에서 해를 가짐을 증명하시오.

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【잡담】
네팔의 국기 종횡비는, 다음 방정식의 네 실근 중 가장 큰 것입니다.
824634725389225x⁴-2439951444086880x³+2700899847521244x²-1325568548812608x+243356742235044=0
한편 이란의 국기 종횡비는 196x²+15750x-28125=0의 유일한 양수 근입니다.

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[coffee break]
최근 미적분II를 배운 사람 “y=eˣ라는 거 대단하네, 미분해도 변하지 않는다니.”
y=0 “잘도 그렇겠다.”

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DR20 ★10
(2ⁿ+1)/n²을 정수가 되게 하는 자연수 n의 값을 모두 구하시오.

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DR31 ★3
삼차원 공간 내의 네 점 ABCD가, AB=1, AC=2, AD=3, ∠BAC=∠CAD=60°, ∠DAB=90°를 만족한다고 한다. 이 네 점에서 같은 거리에 있는 점을 E라고 할 때, 선분 AE의 길이를 구하시오.

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DR149 ★3
어떠한 양의 상수 p가 있다. xy평면 위의 두 곡선
C₁:|y|=tan x (0≤x<π/2)
C₂:x=y²/4+p
이 두 점에서 접한다고 할 때, C₁과 C₂로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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DR1 ★4
n²+1과 (n+1)²+1의 최대공약수를 구하시오.

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DR100 ★7
백 명의 철수가 원형 운동장을 같은 시작점에서 출발하여 영원히 달린다. n번째 철수가 운동장을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 n이라고 하자. 이때, 자신으로부터 반 바퀴 떨어진 곳에 다른 아흔 아홉의 철수가 자리하는 고독한 순간은 찾아오는가.

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[페르마의 소정리]
프랑스의 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)의 정리이다. p가 소수이며, a가 p의 배수가 아닐 때 aᵖ⁻¹≡1 (mod p). 오일러의 정리는 이 정리의 p에 대한 확장이기 때문에 이로부터 얻는 것 또한 가능하다. 이항정리와 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.