수학봇

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[수학봇 @Mathbot_KR]

안녕하세요, 수학봇입니다.
며칠 이내에 해당 봇을 다시 가동할 계획입니다. 봇을 어떻게 운영할 지에 대해서는 추후에 다시 공지토록 하겠습니다.

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디리클레 함수는 모든 점에서 극한이 존재하지 않으며, 또한 불연속이고, 모든 유리수를 주기로 가집니다.

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실수 집합은 두 서로소인 Lebesgue null set과 Meager set으로 쪼갤 수 있습니다.

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유클리드 평면에 유한개의 점이 존재할경우 모든 점들은 한직선상에 있거나 아니면 두개의 점만 포함하는 직선을 적어도 하나 가집니다. (Sylvester–Gallai theorem)

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미분 가능한 함수의 도함수가 꼭 리만 적분 가능한 것은 아닙니다.

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R^3안의 모든 orientable 컴팩트 곡면은 양의 가우스 곡률을 가진 점을 가집니다.

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모든 자연수는 네 개의 완전제곱수의 합으로 나타낼 수 있습니다.

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`ZF + Dependent Choice + 모든 R의 부분집합이 르벡 가측'은 무모순합니다. (Solovay model) 하지만 그 증명은 거대 기수에 의존합니다.

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국제 수학자 대회(ICM)은 4년마다 한 번씩 개최되며 2014년에 한국에서 개최된 적이 있습니다.

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연속체 가설은 ZFC 내에서 증명도 반증도 불가능합니다.

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만약 두 공간이 homotopic하다면, 이 둘은 같은 공간의 deformation retract로 표현할 수 있습니다.

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Countably locally finite는 딱히 countable일 필요도 없고 locally finite일 이유도 없습니다.

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무한집합 X의 임의의 부분집합이 유한집합이거나 유한집합의 여집합이면 이를 amorphous set이라 부릅니다. 선택공리를 가정하면 이런 집합은 없지만 `ZF + amorphous set이 존재한다'는 무모순입니다.

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다층신경망(MLP)는 어떠한 함수도 모사할 수 있습니다 (Universal Approximation Theorem)

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모든 exact form은 closed하지만 역은 성립하지 않습니다.

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결정 불가능한 판정 문제가 존재합니다. 정지 문제(Halting problem)가 그 예시입니다.

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그로텐디크는 자신이 속해 있는 IHÉS가 프랑스 국방부로부터 지원금을 받았단 사실을 알고 나서 IHÉS에서 탈퇴했습니다.

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Cohen이 ZF로부터 선택공리의 독립성을 증명하기 이전에 Fraenkel은 선택공리의 독립성을 증명합니다. 그의 증명에서 등장하는 집합론은 무한 개의 (집합이 아닌) atom을 가집니다.

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한-바나흐 정리는 르벡 비가측 집합의 존재를 이끌어냅니다.

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선택공리를 쓰면 모든 벡터 공간이 basis를 가짐을 증명할 수 있습니다. 재밌게도 역도 성립합니다: 모든 벡터 공간이 basis를 가지면 선택공리가 성립합니다.

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두 집합 A에서 B로 가는 전사함수에 대해 그 우역함수가 존재한단 사실은 선택공리와 동치입니다.