数学 for 大学受験

数学の問題(#mathworld4)や数学・教育に関して思うことを呟きます。／特異点の判定法について研究していました。／論文掲載あり(2020-2021) ⚠️DMでの数学や学習法などに関する質問には応えかねます⚠️ 予備校講師
I occasionally post in English.

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

新刊『大人のための今度こそスルスルわかる数学』予約発売のお知らせ

このたび、大人向けの学び直しの本を出版いたしました。本書は、中学数学と高校数学の基本的な内容を扱っています。昔は苦手だったけど大人になってもう1回挑戦してみようとする人の第1歩を手助けできればという思いを込めながら書きました。ぜひ読んでいただけたら幸いです。

発売日は9/3(火)で、全国の書店およびオンラインストアにてお求めいただけます。

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[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

@8z0xcq その辺は教師用教科書に赤字で、新たに境界という数学用語を定義するのをさけるために的なことが書いてあると思います。

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

そこをこだわるのであれば「境界線」っていう言葉もこだわってほしいな。
「境界線」なんて数学用語は本来無いですからね。

[-Imasen- いまさら先生に聞けない数学｜管理人：矢加部 淳 @imasen_math]

たとえば私が日本語の助詞一つにも神経を尖らせるのは、数学の答案を記述するときにも文章作成力ひいては国語力が大切だと考えているからだ。

こういうことを言うと決まって

「国語じゃなくて数学をやっているんだし、問題が解けているんだからいちいち細かいことにこだわらなくてもいいじゃん！」(そして余計なことを生徒に強いるダメ講師という烙印を私に押す)

「論理が正確に運用できる論理記号を駆使すればいいだけであり、そうすれば曖昧な日本語など使わずに済む」(そして数学を国語の問題にすり替える非論理的な人間だと私を嘲笑する)

などの批判が出る。

私からしてみれば、そのようなことを言い出す人は、自分自身の国語力に自信がないか軽視して過ごしているように思える。そしてもしそうなら、その人は自身の紡いだ言葉を、受け取った相手が良心的に解釈してくれているだけであり、相手に依存している可能性があるということだ。

あなたの周りが「空気を読んでくれる人」や「行間を補ってくれる人」ばかりだったら問題は起こらないが、悪意を持ってあなたに接してくる人がいたら、あなたの真意は伝わらず損をするだけだ。

数学の記述答案に限った話でも、大学側の採点方法が私たちに分からない以上、採点者がどう曲解しようとしても、一つの意味にしか取れないような強固な文章を書けなければならない。だからご自身が生きやすくするためにも、文章力は必須だと思うのだ。

ちなみにこの文章は、論理記号を推奨する人たちへの反論にはなっていない。そのあたりについては、私の別の記事へのリンクをリプライに張るのでご覧いただきたい。

#数学屋のひとりごと

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

@qaqarin101 何様？

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@8z0xcq 「境界」が正しいですね！
必ずしも境界は「線」とは限らないので！

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

@8z0xcq もちろんそれは存じ上げています。

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

あとこんなことで揉めるんなら
境界を含まない場合は境界を点線で、
含む場合は実線で書きゃ良いだけの話。

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【解答】

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【問題】点光源と球が作る影

#mathworld4

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点光源をz=3の高さで固定して、動かしてみるとこんな感じ

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

2次関数y=-2t²+tに帰着させるか、AM-GMか。

[-Imasen- いまさら先生に聞けない数学｜管理人：矢加部 淳 @imasen_math]

文系のクラスでも、画像のような関数は登場します。

数学Ⅲが使えるなら微分一択でしょうが、そうでない場合は果たしてどのようにしますか？

好みが分かれそうです。

#imasenの問いかけ

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

問題文の中に「楕円の内部（境界を含む）になる」と明記されています。

数学の問題において、影の定義（境界を含むかどうか）は出題者が設定したルールに従います。この問題では「境界を含む」と明示されているため、境界がどうなるかという議論は不要です。

高校数学や入試における「点光源と影」の問題は、物理現象をそのまま再現しているのではなく、以下のような幾何学的なモデル（簡略化した設定）に基づいています。
• 光は「太さのない直線」として進む

• 球体は「光を一切通さない（不透明な）閉領域（内部と表面）」である　←これは明記すべきだったかも

• 光の回折（回り込み）や、物体の原子レベルでの境界の曖昧さは無視する

このモデルの上では、点光源から引いた直線が球体と「交わるか接する」なら光は届かず（影になり）、「交わらない」なら光が届きます。接する瞬間（境界）の方程式を求めるのがこの問題の意図です。

確かに、物理的なツッコミとしては一理あるとは思いますが、問題の不備とまではいかないんじゃないかな？これについては意見を聞きたい。

現実の物理（光学）として見れば、以下のような理由で「境界の明るさ」は曖昧になります。

• 現実には完全に大きさがゼロの「点光源」は存在しない（光源に大きさがあると半影ができる）

• 光は波の性質を持つため、物体のエッジで「回折現象」が起き、影の境界がボケる

• 物質の境界がミクロレベルで光をどう反射・透過するか

しかし、これはあくまで「現実の物理」の話であり、数学の「幾何学の問題」に対してこの指摘は通らないかと思います。

[ε´ っ ・ ω ・ )づ(･ω･c`з @sirotanist]

これ影の境界線は明るいか、暗いか？の議論が発生するんよな。
そもそも球面の境界は透明か不透明かってこともな。

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九大プレの問題いいなあ
問題集に入れたいくらい
すごくちょうどいい

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

底辺かける高さわる２
なんだけどなあ

[林檎に砂糖 @3li_ppq]

こんな公式初めて知ってまずい

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@HirokazuOHSAWA AIを使わなかった場合、もっとクオリティの低いものが出来上がってたかもしれないと思うとゾッとします。笑

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

えっと……
この原理が部分積分なんだけどなぁ…

[sakura @積分アプリ作成 @saku_deve]

【部分積分しない方法】

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@hatansuker @TubeSoling プラスではなく、0以上ですね。

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

@imasen_math 分からずに何も書いてない人と差別化を図るためにも気持ち的には書いてて欲しいですね。

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

どうせ多項式の一致の定理で保証されるってことを言いたいんだろうが、それならそれでその旨を書けって話。

[-Imasen- いまさら先生に聞けない数学｜管理人：矢加部 淳 @imasen_math]

分数式型の恒等式の問題で、私は画像のような解答には、一切減点をせず満点をあげます。

理由はnoteに書いた通りです。よろしければご覧ください。
https://t.co/h5Krp43XZK

#imasenの問いかけ

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@BoI87oi @cozy_na_ndkr 自分はそれ派です。

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

正直、f'(x)=0を解くとx=e
よって増減は次のようになる、、、

は減点したいまである。
停留点を求めてるだけで、増減を調べている訳ではない。

[-Imasen- いまさら先生に聞けない数学｜管理人：矢加部 淳 @imasen_math]

数学3の微分法においてグラフをかくときの話です。

f'(x)を求めて増減表を書く際

「不等式f'(x)>0を解け」（<0でもよい。とにかく方程式ではなく不等式を解けということ）

と言います。そうすることで、増減表のxの値の列だけではなく、その左右の符号も一気に埋まるからです。

だから私は

「不等式を解くと『お得』だよ」

と言います。どうもそのような指導をされる先生があまりいないように感じるのは私だけでしょうか。

なので数学3に入るまでの間に、いろいろな関数の不等式の解き方をしっかり学んでおこうね、とも言います。

皆さんはいかかでしょうか。

noteにも同じ記事を書いています。
https://t.co/d2WhetAkjG

#imasenの問いかけ

[数学 for 大学受験 @Mathworld4]

まあ教科書程度の易しい問題しか解いてない人はそう思うでしょうね。