東大理三の受験戦略 | メタスキリング

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【最大・最小の重要テクニック④】

f(θ) = (sinθ + 1)/(cosθ + 2)

の最大値・最小値を求めよ。

難易度：やや易
制限時間：１分

微分でゴリゴリ計算する？
いや、もっとスマートな方法がある。

式の構造を見極められるかが、勝負。

解答は、明日の夕方に公開予定です！

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【イェンゼンの凸不等式】知ってた？

f(x)が下に凸な関数のとき、

Σλᵢf(xᵢ) ≥ f(Σλᵢxᵢ)

三角形で sin A · sin B · sin C の最大値
→ f(x) = -log(sin x) を使えば一瞬

知っていると計算量を大幅に減らせて、問題への解像度も大きく変わる重要定理です。

難関大志望者は、押さえておこう！

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【最大・最小の重要テクニック③】

三角形ABCにおいて、
sin A · sin B · sin C の最大値

この問題、何秒で解ける？

京大後期の問題ですが、驚くほどスッキリ解けるんです！！

三角形の角の条件 A + B + C = π がカギ。

受験生はぜひとも一度、考えてみましょう！
解答は明日の夕方公開予定。

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【計算テクニック】平方根の近似

√(a² + b) ≒ a + b/(2a)

これを覚えておくと、近似値を覚えていない平方根もすぐ近似できる！

例：√2027 = √45²+2 ≒ 45 + 2/90 ≒ 45.02
（実際は45.022...）

誤差0.0001%。検算や概算に便利

√6 の近似値はゴロを覚えておくと、化学などで何かと便利です！

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東大入試最強属性Tier

SS IQ160
S+ 帰国子女
S IQ150・国際科学五輪メダリスト
A+ 超進学校出身(灘筑駒開成桜蔭) IQ140
A 公文モンスター(小学生で高校数学履修)・IQ130・実家が資産家・早期英語(中学で英検1級)
B 鉄緑会・兄弟が東大生
C+ 中学受験経験・IQ120・首都圏在住
C 周りに東大志望がいる

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【最大・最小の重要テクニック③】

三角形ABCにおいて、
sin A · sin B · sin C の最大値

この問題、何秒で解ける？

京大後期の問題ですが、驚くほどスッキリ解けるんです！！

三角形の角の条件 A + B + C = π がカギ。

受験生はぜひとも一度、考えてみましょう！
解答は明日の夕方公開予定。

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【コーシー・シュワルツの不等式】知ってた？

(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≧ (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²

これを使うと、2乗の和を含む最大・最小問題が一瞬で解ける

実は、これは多次元ベクトルの内積と絶対値の大小を表している！
|a|²|b|² ≧ (a・b)²

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【最大・最小の重要テクニック②】

実数 x, y が x²/9 + y²/16 = 1 を満たすとき
x + y の最大値を求めよ。

難易度：やや易
制限時間：1分

いろいろな解法が考えられるこの問題
どの解法を選択するとよいだろうか？

条件を見て、まず何の形を思い浮かべる？

解答は、明日の夕方に公開予定です！

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【総合型選抜で受験できる医学部】

➤国公立大学（12校）

北海道　旭川
東北　弘前　筑波
大阪公立　神戸　広島
高知　愛媛　徳島　大分

➤私立大学（9校）

岩手医科　獨協医科　東邦　東海
順天堂　金沢医科　藤田医科
大阪医科薬科　川崎医科

ただし専願が多いので、出願は慎重に。

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【最大・最小の重要テクニック②】

実数 x, y が x²/9 + y²/16 = 1 を満たすとき
x + y の最大値を求めよ。

難易度：やや易
制限時間：1分

いろいろな解法が考えられるこの問題
どの解法を選択するとよいだろうか？

条件を見て、まず何の形を思い浮かべる？

解答は、明日の夕方に公開予定です！

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【n変数の相加・相乗】知ってた？

2変数だけじゃない！
a₁, a₂, ..., aₙ > 0 のとき

(a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n ≥ ⁿ√(a₁·a₂·...·aₙ)

これを使えば、最大・最小問題が一瞬で解けることがある。

微分を使わずに、最大・最小が出せる。
難関大志望者は、必ず押さえておこう！

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【最大・最小の重要テクニック①】

f(x) = x² + 2/x （x > 0）の最小値

この問題、何秒で解ける？

微分して増減表を書いても確かにできるが、時間がかかる…
実はある方法で、計算量を劇的に減らすことができるんです！！

受験生はぜひとも一度、考えてみましょう！

解答は明日の夕方公開予定。

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【東大入試】地区別の合格率(2025)

北海道　44.1%（大幅上昇↑）
近畿　　41.6%
北陸　　40.5%
東京　　36.7%
中部　　36.1%
関東(除東京)　34.2%
九州　　33.2%
中国　　33.0%
四国　　28.8%
東北　　26.9%

全国平均　35.6%

北海道・近畿・北陸が東京より高いのは、
進学校の層の厚さの表れ。

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【完全保存版】三角形の面積の公式

公式は「どの条件で使うか」を理解して初めて武器になる。

共通テストで「3辺の長さだけ」与えられたら？
→ ヘロンの公式一択

「2辺と間の角」なら？
→ 1/2 bc sin A

「座標」なら？
→ 1/2|x₁y₂−x₂y₁|

以下の公式を、すべて自力で証明できる君は強い💪

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【最大・最小の重要テクニック①】

f(x) = x² + 2/x （x > 0）の最小値

この問題、何秒で解ける？

微分して増減表を書いても確かにできるが、時間がかかる…
実はある方法で、計算量を劇的に減らすことができるんです！！

受験生はぜひとも一度、考えてみましょう！

解答は明日の夕方公開予定。

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【記憶を定着させる7つの技術】

集中反復：短時間で何度も繰り返す
分散学習：時間を空けて復習
意味づけ：語呂合わせ、ストーリー化
自己テスト：思い出す訓練
必然性の考察：なぜそうなるか理解
視覚的イメージ：図や映像に変換
抽象化・体系化：分類して整理

全部使えば「忘れない自分」になれる

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出典：日刊SPA!［「東大卒 vs 京大卒」年収はどっちが上か？

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【大学別生涯年収TOP10】

1位　東大　　4億6128万
2位　慶應　　4億3983万
3位　京大　　4億2548万
4位　中央　　3億9368万
5位　早稲田　3億8785万
6位　一橋　　3億8640万
7位　上智　　3億8626万
8位　同志社　3億8590万
9位　青山学院3億8578万
10位　法政　　3億8103万

国立は３校だけ( ﾟДﾟ)

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【積分漸化式】使えてた？

∫(log x)ⁿ dx に部分積分を適用すると

Iₙ = x(log x)ⁿ - n·Iₙ₋₁

この漸化式を繰り返し使うと
nが何であっても解ける！

実はこの積分、漸化式を解くと
一般項が存在します。

漸化式から派生させる入試問題も多いので、受験生は１度確認しておきましょう！

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【積分の重要テクニック⑦】

∫(log x)⁴ dx

この積分、何秒で解ける？

愚直に部分積分の繰り返しを書き連ねると煩雑になる…
実はある方法で、スッキリ記述できるんです！

係数には美しいパターンが隠れてます。

受験生はぜひとも一度、考えてみましょう！

解答は明日の夕方公開予定。

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東大・医学部生による「完全個別・学習戦略立案」を無料体験授業で実施中

・国公立医学部合格への最短ルート
・志望校別の対策方針
・一人一人にあわせた学習計画書

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【進級が厳しい国公立医学部】

▼厳しい
福井　熊本　宮崎

▼普通
北大　山形　福島　群馬　山梨
岐阜　奈良　鳥取　島根　広島
徳島　香川　九大　佐賀　長崎

国公立は、全体的に私立より進級は緩め。
ただ勉強しなければ留年する。

〔年間(2023~2025卒業者)のストレート卒業率の平均値で分類〕

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【年号問題対策】2027と2029は双子素数

双子素数とは、「差が2の素数ペア」

今回は双子素数の性質を深堀り！

✓ 5以上の双子素数は (6n-1, 6n+1) の形
✓ 積+1は完全平方数
　2027×2029+1 = 2028²
✓ 無限に存在するかは未解決

2000年以上解けていない難問

双子素数の性質をチェックしておこう☟