makemake @fdoolwi - Twitter Profile

OpenAIは、次世代モデルであるAstraを使って数学および理論計算機科学の未解決問題に取り組み、10件の新しい結果を得たとする報告書を発表した。長年未解決だった予想への反例や、数十年ぶりとなる上界の改善などが含まれており、すべてが専門家の検証に耐えるなら、数学としてもAI研究としても重要な成果集となる。扱われている分野は、高次元球充填、符号理論、群論、作用素環論、算術回路計算量、量子情報、格子問題、離散幾何、ラムゼイ理論、極値グラフ理論と幅広い。専門家による本格的な検証はこれからだが、主要な結果が正しければ、AIを使って数学や理論計算機科学の重要な未解決問題を大量に解ける段階に入りつつあることを示す、大きな成果である。 10件の成果のうち、最初の3件を簡単にまとめる。なお、以下の分野は私自身も専門ではないため、ChatGPTによる解説をもとに、私が理解した範囲で言い直したものであり、正確性は保証できない。 1. 高次元球充填の上界を改善球充填問題は、同じ大きさの球を空間にどこまで密に詰められるかを問う問題である。高次元では最密充填を直接求めることが難しいため、Cohn–Elkies法と呼ばれるフーリエ解析に基づく線形計画法によって、これ以上密には詰められないという上界を求めてきた。今回の研究では、この方法が高次元で到達できる指数的な限界を正確に決定し、一般の球充填に対する指数上界を1978年以来初めて改善した。さらに、Cohn–Elkies法の枠内では、これ以上指数的に改善できないことも示している。 2. 二進符号と球面符号の古典的上界を改善二進符号では、0と1からなる列を互いに十分離して、どれだけ多く配置できるかを考える。球面符号では、高次元の球面上に、互いに十分離れた点をどれだけ多く配置できるかを考える。今回の研究では、固定されたすべての距離および角度について、1970年代から使われてきた古典的な上界を指数的に改善した。従来法では、それぞれの符号語に一つのベクトルを対応させていたが、新しい方法では、一つの符号語に高次元の部分空間を対応させ、部分空間同士の重なりを利用することで、より強い上界を導いている。 3. 明示的な非ソフィック群の構成ソフィック群とは、無限群の有限部分を、有限集合上の置換によって近似できる群である。長年、「すべての可算群はソフィックなのではないか」と予想されていたが、今回、binary Leavitt algebraと呼ばれる代数の可逆元群を用いて、具体的な非ソフィック群を構成した。これは、今回の10件の成果の中でも、特に象徴的な結果の一つである。コメント === 今年中にも、AIを使って数学、理論計算機科学、理論物理学などの重要な問題が解かれるのではないかと予想されていたが、今回の成果はそのようなものとなった。また、今回は一つの成果だけでなく、異なる分野にまたがる10件の結果がまとめて提示され、AIが人間の研究者とは異なる速度と生産性で、研究成果を生み出し得ることを象徴している。こうしたAIが複数の分野で成果を量産し、人間による理解や検証が追いつかなくなる可能性のある時代については、最近出版した「ヒトとAI」でも中心テーマとして考察している。今後、このような現象が起きる分野はさらに広がっていくだろう。 AIを利用した科学研究は、今後さらに加速度的に進展すると考えられるが、すべての分野が同じ速度で進むわけではなく、数学や理論計算機科学のように、問題の記述から解答の検証までを計算機上で完結しやすい領域では、急速な進展が起こる一方で実験、観測、装置の製造、臨床試験などがボトルネックとなる領域では、進展の速度が相対的に遅くなるとみられる。その結果、一部の領域だけが加速度的に進み、物理的・制度的なボトルネックを持つ領域が取り残されるという、歪な形で発展していく可能性があるとみている。

9

337

79

142

56K