ポアン

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[ポアン @gpwpwmmjmat]

@piyochance02 @Kon719 なんで嫌いまでいくねん

[いっしき @issiki_kyoto]

☆合成関数の因数分解
f(x)が整式のときf(f(x))-xはf(x)-xで割り切れる.

【証明】
f(f(x))-x
=f(f(x))-f(x)+f(x)-x (☆この技巧が重要)
=aₙ{f(x)ⁿ-xⁿ}+aₙ₋₁{f(x)ⁿ⁻¹-xⁿ⁻¹}+...a₁{f(x)-x}+f(x)-x (☆整式の条件f(x)=aₙxⁿ+...a₁x+a₀の定式化)
=(f(x)-x)×(整式). (☆n乗の因数分解)

実際の問題ではf(x)が具体的な2次式のことが多いですが、展開してバラバラにすると手に負えなくなります。この流れを再現して因数分解に持ち込んでください。

このありがたみが分かるには、
☆複雑な方程式は因数分解で次数を下げないと解けない
という意識が重要です。一般に高次方程式など複雑な方程式に実用的な解の公式はないので、因数分解でより簡単な方程式に帰着させていくしかありません。f(f(x))-xはf(x)が2次式でも4次式になってしまいますが、因数分解が保証されているのがありがたいところです。

類題：1988京大理系1, 1997一橋後期1, 2004阪大理系4, 2019早稲田商1(2)

[ポアン @gpwpwmmjmat]

@heikotu 物理重要問題集107(東大)だね

[ポアン @gpwpwmmjmat]

@7556V @Ari_sn0801 高校受験のコンプめずらし

[コロちゃんぬ @corollary2525]

「n²が偶数ならばnは偶数」の証明で
n = n² - n(n - 1)
と変形するのを初めて見たとき流石に天才と思った。

[いっしき @issiki_kyoto]

整数が苦手だと思ってる人はそもそも圧倒的に演習量とパターン化が足りてない

☆整数の特殊性
①素因数分解の一意性(因数分解)
②剰余の有限性(mod)
③整数の離散性(不等式)

ジアゲンがこれらだけで戦うのは不可能に等しい
もっと頻出テーマごとにこれらをどう使うのかを具体化して覚えていくべき

何言ってるか分からないかもしれないけど、参考までに主要なものを貼ります

☆素数
①因数分解
②実験してmod

☆倍数であることの証明
①連続積の作成
②因数分解+定式化+modごり押し

☆平方数
①mod(3, 4, 5, 8, ...)
②平方数の離散性
③文字でおいて因数分解

☆最大公約数
①ユークリッドの互除法
②ともに割り切る素数を設定

☆分数型
①|分数|≧1または=0
②分母が分子の約数が必要

☆指数型
①指数の爆発性
②n乗の因数分解
③累乗のmodの周期性
④二項定理
⑤指数と帰納法は相性抜群

☆階乗型
①階乗の爆発性
②n!はn以下の倍数
③中間の階乗で割る

☆方程式の整数解
①解は代入すると成り立つ
②解けるなら解く
・2次方程式なら判別式が平方数や0以上
・方程式に含まれる1次の文字について解くと分数型に帰着することも多い
③因数分解
④解と係数の関係
⑤グラフ(難問に多い)

☆あらゆる分野の最重要定石
・複雑な式は低次の文字について解く
・複雑な式は因数分解を疑う
・等式あったら文字消去
・日本語の条件は文字でおいて定式化
・求めるものを文字でおく
・同じ形やかたまりはおきかえよ
・対称性は保つor崩すの選択
・自由度が高くて困ったら場合分け
・nの証明は帰納法
・直接でだめなら余事象, 対偶, 背理法
・式でだめなら図やグラフ
・抽象的など困ったら具体化=実験

☆実験
①身近な数を代入する(n=0, ±1, ±2, ...)
②極端な場合を考える(n=±100, ±∞, ...)
③不適であってほしい値を代入して矛盾のからくりを見つける

☆漸化式を割った余り
・部屋割り論法から漸化式のmodは必ず循環するので、漸化式に1本線を加えてmodの等式にする

☆ガウス記号
①ガウス記号は整数([x]=mとおく)
②定義の不等式([x]≦x<[x]+1)
③成分表示(x=m+αとおく)
④実験
⑤グラフ

☆二項係数
①リーダーの公式(knCk=n(n-1)C(k-1))
②パスカルの法則(n-1Ck-1+n-1Ck=nCk)
③対称性(nCk=n-kCk)
④書き下し
⑤和の等式は二項定理の微積分

☆有理数と無理数
・有理数は何倍かすれば整数になるが無理数は別物という感覚が重要
・有理数を示すならx=整数/整数を示す
・有理数の条件を使うなら有理数の和差積商は有理数を使う
・無理数を示すなら背理法
・無理数の条件を使うなら無理数の相等

☆その他の有名知識
・x+yとx-yは偶奇一致
・連続2整数は互いに素
・連続2奇数は互いに素
・a, bが互いに素ならばa+b, abも互いに素
・abが平方数でa, bが互いに素ならばa, bはともに平方数
・pCkはpの倍数
・nが偶数はn=2mだけでなくn=2^(a)b(bは奇数)と素因数分解形でおくこともある
・a, bが整数でa>bならばa≧b+1
・n<x<n+1となる整数xは存在しない(逆に間隔が1以上ならば整数が存在する)

☆有名テーマ
・完全剰余系の基本定理
・べズーの定理
・マックナゲットの定理
・ペル方程式
・単位分数の和は整数でない
・レプユニット数
・格子点の幾何学
・n進法の導入

過去にも平方数や最大公約数の一部と階乗型あたりはPDF化したけど今後もちょこちょこPDF化していこうと思う

[サブマシンガン太田 @biostorrera1984]

言ったら引かれる夫婦の秘密（1/8）SFW