漸進

学而時習之、不亦説乎。

[漸進 @gradualtraining]

スパムではありません
面白いと思った問題を解いていきます

[漸進 @gradualtraining]

a=a₁,…,d=a₄、g=Σᵢ₌₁⁴aᵢ/4と置くと、
|aᵢ-g|=√3/2 (i=1,…,4)となる事に注意すると、

√3/2 f(p)
=Σᵢ₌₁⁴|aᵢ-g||aᵢ-p|
≥Σᵢ₌₁⁴(aᵢ-g)･(aᵢ-p) (コーシーシュワルツ)
=Σᵢ₌₁⁴|aᵢ-g|²+Σᵢ₌₁⁴(aᵢ-g)･(g-p)
=4･3/4+0
=3

p=gで等号成立より、最小値は2√3。

[自作問題 @sakumonjp]

今日の1問　18日目
文系向け
難易度:A
#高校数学
#自作問題

[トリッカル・もちもちほっペ大作戦 @trickcal_jp]

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[漸進 @gradualtraining]

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[漸進 @gradualtraining]

=∫₀¹(1-x)/√(1-x²)dx
=[arcsinx+√(1-x²)]₀¹
=π/2-1

[りーるる @ri_ruru07]

今日の積分 165

#今日の積分
#今日積

[漸進 @gradualtraining]

I=∫₀¹x arccosx dx (x↦√(1-x²))

2I=∫₀¹x(arcsinx+arccosx)dx
=π/2∫₀¹xdx
=π/4

I=π/8

[りーるる @ri_ruru07]

今日の積分 157

#今日���積分
#今日積

[漸進 @gradualtraining]

=∫₀¹ dx/√(2(x²+1)) (x↦(1-x)/(1+x))
=arsinh(1)/√2
(=1/√2 ln(1+√2))

[りーるる @ri_ruru07]

今日の積分 155

#今日の積分
#今日積

[漸進 @gradualtraining]

詳しく書きたいなら、b→0のとき∠B→0だから余弦定理より
a²+c²=2ac即ち(a²+c²)/ac=2
と書く。

[漸進 @gradualtraining]

Ω={(a+b)²+c²-2ab}/{(a+b)c+ab}
a+bを固定すると、ab(>0)はa=bで最大、aかb→0でab→0となるから

Ω≥{(a+a)²+c²-2aa}/{(a+a)c+aa}
=(2a²+c²)/(2ac+a²)
≥(2a²+c²)/(a²+c²+a²)(∵AM≤GM)
=1
(等号成立条件はa=b=c)

Ω<{(a+0)²+c²-2a*0}/{(a+0)c+a*0}
=(a²+c²)/ac
=2(∵題意)

∴1≤Ω<2

[漸進 @gradualtraining]

x²=(s+t)±2√(st)=(√s±√t)²

0≤|√s-√t|(s=tで等号成立)
|√s-√t|≤|√s+√t|(s=0 or t=0で等号成立)
より、0≤|根|≤|√s+√t|だから、

|√s+√t|
≤√2√(s+t)
(∵CS不等式)
=2√((s+t)/2)
≤2√√((s²+t²)/2)
(∵AM≤QM)
=2(1/2)¹ᐟ⁴
=2³ᐟ⁴
(s=t=1/√2で等号成立)

∴-2³ᐟ⁴≤根≤2³ᐟ⁴

[漸進 @gradualtraining]

解答を上げたので、見たい���は私のポストへどうぞ。

[漸進 @gradualtraining]

定石どおりに解ける問題。
一応解説すると、tanの有理数乗があるので、これを置換することを考える。
そのためsec²を作るのと、分母をtanの式に変形することを考えると、丁度良くsec²が出てくるので、tanをxと置換。
すると、B関数の有名表示が現れるので、これを変形すれば答えが出る。

[漸進 @gradualtraining]

(与式)
=∫[0,π/2](tanx)¹ᐟ³/(1+tanx)²*sec²xdx
=∫[0,∞)x¹ᐟ³/(1+x)²dx(tanx↦x)
=Γ(4/3)Γ(2/3)/Γ(2)
=1/3*πcsc(π/3)(∵相反公式)
=2π√3/9.

[漸進 @gradualtraining]

xᵢlog(xᵢ)
≥(log(k/n)-1)(xᵢ-k/n)+k/n*log(k/n)
=xᵢ(log(k/n)-1)+k/n

i=1,…,nとして辺々加えると,
Σ[i=1,n]xᵢlog(xᵢ)
≥Σ[i=1,n]xᵢ(log(k/n)-1)+Σ[i=1,n]k/n
=k(log(k/n)-1)+k
=klog(k/n).
(等号成立条件はx₁=…=xₙ=k/n)

[漸進 @gradualtraining]

解いてみた。
[I]はフィボナッチ数列の有名等式
Fₙ₊ₘ₋₁=FₙFₘ+Fₙ₋₁Fₘ₋₁
が元になっている。行列の成分比較が最も楽だが、高校数学で当たり障りのない方法で示した。
[II]はジェンセンでも良いが本番で証明を与えやすいようにヤングの不等式に持っていく方法を用いた。

[大澤裕一 @HirokazuOHSAWA]

2024一橋大数学後期 大問5
I,IIのうち1題を選択して答えます。どちらを解きますか？