数学問題bot

大学受験程度の数学問題を１時間に１回の頻度で垂れ流す。Since2009.12.14

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【Newtonライト2.0　数学パズル図形編】数ある図形パズルの中からテーマ別に38問を厳選しました。夢中になってパズルに取り組んでいるうちに,いつのまにか図形のセンスが身についていることでしょう！
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∠ABC = 2∠ACBとなる���角形ABCにおいて、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。AB = CDのとき∠BACは何度(ﾟ)か。ただし、線分XYの長さをXYで表す。（数オリ０１予選） #数学

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１辺の長さが２の正六角形A1A2A3A4A5A6を考える。さいころを３回投げ、出た目を順にi,j,kとするとき△AiAjAkの面積を２乗した値を得点とする試行を行う。ただし、i,j,kのなかに互いに等しい数があるときは得点は０とする。（中略）得点の期待値を求めよ。（１０千葉）

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中心が明らかになっている円Oがある。これを利用して円Oに内接する正方形を作図��よ。但し作図にはペンと直線定規1本のみを使用できるものとし、定規の角の直角は利用してはならない。（qTef様） #数学

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…続き２）b＞0とする。0≦x≦bにおけるGの最小値が-1/4のときのグラフをG1、x≧bにおけるGの最大値が3のときのグラフをG2とする。G1をどのように平行移動させればG2に一致させられるか。（１１センター数学１Ａ） #数学

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実数を成分とする行列A=[[a,b],[c,d]]がA^2-A＋E=0を満たす。ただしE=[[1,0],[0,1]]は単位行列、0は零行列である。（中略）b>0,A^(-1)=[[a,c],[b,d]]のとき、Aを求めよ。（１０北大・理） #数学

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△ABCの内部の点Oに対し、直線AB、BC、CAについての対称点をそれぞれ点P、Q、Rとする。△PQRが正三角形のとき、△ABCも正三角形であることを点Oが△ABCの１）内心２）外心３）垂心であった場合について証明せよ。（nyoki1007様） #数学

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1～nの数字を一つずつ使い、下記条件を満たす数列a[1],…,a[n]を作る。条件：「1≦m≦nについて、a[1]＋…＋a[m] はa[m]で割り切れる。」2＜nのとき、条件を満たす並べ方が少なくとも2つ以上あることを示せ。（amoO_O様） #数学

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正十角形の各頂点に1～3のいずれかの数を割り当て、それらの総和をSとする。1が付けられた頂点が5個以上あり、かつS≦19��とき、1からSのどの自然数nも連続する何頂点か（1頂点でもよい）に付けられた数の和として表せることを示せ。（第29回シ���プリンガー数学コンテスト） #数学

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ABCDEを１辺の長さが１の正方形ABCDを底面とし、４個の正三角形を側面とする正四角錐とする。（中略）３）正四角錐ABCDEの△CDEに、各辺の長さが１の正四面体CDEFを貼り付ける。点Hを辺ECの中点とすると△AHFの面積はいくらか。（１２慶應理工） #数学

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p,qを正の実数とする。xの方程式log_10(px)･log_10(qx)＋1=0が1より大きい解を持つとき、点(log_10(p),log_10(q))の存在する範囲を座標平面上に図示せよ。（０８筑波・理） #数学

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-π/2≦θ≦0のとき、関数y=cos2θ＋√3sin2θ-2√3cosθ-2sinθの最小値をt=sinθ＋√3cosθとおくことで求めよ。（１１センター数学２Ｂ） #数学

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nは3以上の自然数とする。n×nの盤上にオセロの駒がすべて黒を上にして敷き詰められている。この状態から「縦または横に連続する３つの駒を選び、現在の状態から裏返す」操作を好きなだけ行なってすべて白が上になるように出来るnはどのような値か。（nyoki1007様） #数学

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次の連立不等式x^2+(y-1)^2≦1,x≧√2/3で定まる座標平面上の領域Dを考える。直線lは原点を通り、Dとの共通部分が線分となる。その線分の長さLの最大値を求めよ。また、Lが最大値をとる時、x軸とlのなす角θ[0

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四辺形ABCDがある。辺BCと対角線ACを２隣辺とする平行四辺形の���４頂点をEとする。（中略）△DEBの面積はもとの四辺形の面積に等しいことを示せ。（第２回北海���高校数学コンテスト） #数学

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複素数z=cos20°＋isin20°とそれに共役な複素数z’に対しα=z＋z’とする。（中略）３）有理数を係数とする二次方程式で、αを解とするものは存在しないことを示せ。（００九州大） #数学

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xの５次式f(x)のグラフC:y=f(x)が平行な２直線L,Mのそれぞれと２点で接しているようなC,L,Mの実例を１つ見つけよ。またその例について、CとLの交点と２つの接点との３点によりLから切り取られる２つの線分の長さの比を求めよ。（１０東工大ＡＯ） #数学

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nを自然数としIn=∫[0,1](x^n)*(e^x)dxとおく。（中略）３）lim[n,∞]n(n*In-e)を求めよ。（０１大分医科大） #数学

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1)nを正の整数、a=2^nとする。3^(a)-1は2^(n＋2)で割り切れるが2^(n＋3)では割り切れないことを示せ。2)mを正の偶数とする。3^(m)-1が2^mで割り切れるならばm=2またはm=4であることを示せ。（１０京都・理乙） #数学

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F_1(x)=πsin(x)としn=2,3,4,…に対してF_n(x)=F_1{F_(n-1)(x)}で関数の列F_2(x),F_3(x),…を定める。このとき、区間0＜x＜πにおいてF_n(x)が極値をとるようなxの個数をnで表せ。（０９東工大ＡＯ） #数学

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初めに0があり、サイコロを振って出た目の数だけ加算する事を繰り返す。加算後に正整数nが表れ得る確率をP_nとする。１）P_n[n≦6]をnの式で表せ。２）lim[n→∞]P_nを求めよ。���cruz__F様） #数学