音楽×数学融合bot

音楽(主に吹奏楽関連)と数学についての話題をツイートしていきます のせてほしい話題やここがわからない！といったような質問があればリプやDMでどうぞ 現在10話まで 本botに関するハッシュタグは #音数b

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2-8「音の幅はどこも同じ？」
ここで、距離とは半音を1としていくつ離れているかというものである。例えば、同じオクターブの中でドとミは4、レとシは9となる。オクターブの中の音の高さの定義についてはまた別の話題で詳しく述べる。この対数の考え方は比較的音楽の中に溶け込んでいる。→

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2-7「音の幅はどこも同じ？」
aとbの幅は
log2x-logx=(log2+logx)-logx=log2、
bとcの幅は
log4x-log2x=(2log2+logx)-(log2+logx)=log2
となり幅の大きさは一致する。これは同じ距離であれば常に等しくなる。→

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2-6「音の幅はどこも同じ？」
ここで先ほど定義されたa,b,cを用いて考えると、aはlogx、bは
log2x=log2+logx、
cはlog4x=log4+logx=log2+log2+logx=2log2x+logx
となる。そして、aとb、bとcの幅を考えると、→

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2-5「音の幅はどこも同じ？」
それは今のヘルツの対数を取る、というものだ。対数を知らない方のために説明しておくと、対数はlogであらわされる。今、底を2とすれば、logx=aと書いてあれば、2^x=aが成立する。また、log(ab)=loga+logbという性質もある。→

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2-4「音の幅はどこも同じ？」
bの振動数は2x、cの振動数は4xとあらわされる。このとき、このヘルツによる軸ではaとbの振動数の差はx、bとcの振動数の差は2xとなり異なっている。次はこの差が同じとする音の見方を紹介する。→

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2-3「音の幅はどこも同じ？」
音の正体とは振動であるから、振動数を定めることにより音の高さを決めることができるのだ。そして、1オクターブ上の音の振動数は2倍になることより、例えばa,b,cが順に1オクターブずつ上に上がる音を表すとした場合、aの振動数をxとおくと、→

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2-2「音の幅はどこも同じ？」
一つ目は音の振動数をそのまま数値化する単位Hz(ヘルツ)で表されるものがある。これは1秒に何回空気が���動するのかというものである。チューナーの440や442などの数字もこれを表している。これはAの音の高さを直接定めている。→

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2-1「音の幅はどこも同じ？」
例えば、ドとレ、レとミの間は同じだろうか。この答えとしては、ある意味では同じ、ある意味では違うというのが妥当であろう。まず、2つの音の幅はどのように定義すればよいのだろうか。その種類について紹介する。→

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1-8「1÷3が割り切れる世界？」
よって、小数第(c+1)桁以降は0である。よってBPMがx=2^a×5^bの形で表されることは、3連符の長さが有限少数で表されることの必要十分条件である。もっと一般に、n連符の長さについても同様に考えていくことができる。ぜひ考えてみてほしい。了

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1-7「1÷3が割り切れる世界？」
これは自然数であることを考えれば、
x=(20/(2^a×5^b)×10^c)/10^c
は、a_n(n=0,1,2,…)を整数として、
a_0+0.1×a_1+0.01×a_2+…+(1/10)^c×a_c
と展開することができる。→

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1-6「1÷3が割り切れる世界？」
逆にx=2^a×5^bとあらわされるとき、1拍にかかる時間は60/x秒であり、3連符一つは
20/(2^a×5^b)秒。
ここで、c=max{a,b}とおくと、
20/(2^a×5^b)×10^c=20×2^(c-a)×5^(c-b)
である。→

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1-5「1÷3が割り切れる世界？」
ここで、20を素因数分解すると20=2^2×5である。割り切れるためには、既約分数にした時に分母の素因数は2と5のみで構成されている必要があるので、xの形としては、x=2^a×5^bとなる。(a,bは非負整数)→

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1-4「1÷3が割り切れる世界？」
では、一般にはどのようなBPMの時に3連符は割り切れるのだろうか。BPMをxとして考えてみよう。このとき1拍は1/x分=60/x秒となり、3連符1つ分の長さは60/x÷3=20/xとなる。→

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1-3「1÷3が割り切れる世界？」
ここに含まれる3連符1つの長さは1拍の1/3の長さとなるので1/80÷3=1/240分となる。1/240分=1/40秒=0.025秒となり割り切れた。世界が変われば割り切れる基準も変わってくるのだ。→