penta

数学好きな東大院生。専門は連続最適化。たまにイラストを描きます。過去の自作問題や質問は以下のサイトから↓

[penta @penta_math]

【penta Math Contest】
今回から答案提出後にヒントを貰って再挑戦することも可能としました
挑戦者をお待ちしてます

[penta @penta_math]

解答

性質がよく分かっている円分体を経由するのがポイントです

出題してから気づきましたが、雪江『代数学2』の演習問題に tan(2π/p) バージョンが載ってます

[penta @penta_math]

有理数でないことを示して満足していませんか？

[penta @penta_math]

@SSRS_cp 実交代行列の固有値は純虚数または0なので、偶数次で非正則なら固有値0が2重以上になるので1ランク更新しても非正則、というのはどうでしょうか

[penta @penta_math]

@kantu_tarmi ありがとうございます！
確かに気になりますね、単数群が無限群なので大変そうです

[penta @penta_math]

立方数歳になりました
2年前は平方数歳でした

さて、このような年齢(∈ℕ) がただ1つ存在することを示してください

[penta @penta_math]

1. det A≠0 なら∀m∈ℤ, det(B-mI)=det B となり、多項式として det(B-xI) が定数となって矛盾
2. ケイリー・ハミルトン
3. det(A+xI)=-det(A-xI) で奇関数
4. Aの固有値は±i のみ
5. det(A+uu^T)=det A det(I+A^{-1}uu^T)=det A (1+u^TA^{-1}u)=det A

[Serelia @zxcc1k]

AIに作問させてみた
中々興味深そうな問題セットになっててすごい

[penta @penta_math]

@SSRS_cp 代数第6回小テストは F₂[X]/(X²+X+1) 上の計算問題でした

案の定まったく記憶にありません笑

[penta @penta_math]

@SSRS_cp 当時は代数を全く理解してなかったので出てても解いてない可能性がありますね…
後で探してみます（小テストだと保存してない可能性がありますが）

[コロちゃんぬ @corollary2525]

誕生日おめでとうございます！
私は平方数と立方数に挟まれる年齢のときにその証明を書いたので懐かしいです（10年前…だと？）

26　～平方数と立方数の間～ - Corollaryは必然に。 https://t.co/9y9DBQyDNM

[penta @penta_math]

@corollary2525 ありがとうございます
この記事は他の方からも紹介がありました
とても丁寧に書かれていて、私が解析する手間が省けて助かります笑

[penta @penta_math]

@recorderPS UFDがない時代なら逆に、ℤ[√-2]がUFDでないかもしれないなんて疑わずに議論してそうな気がします
フェルマーの最終定理もℤ[ζ_p]が常にUFDになるという勘違いの下で"証明"された歴史もあるみたいですし

[penta @penta_math]

@math_neko ありがとうございます！

[penta @penta_math]

@Noka1000 おー、逃すところでした！
ありがとうございます

[penta @penta_math]

@Pajoca_ ありがとうございます！

[penta @penta_math]

@I_______nu ありがとうございます！
代数的整数論の典型問題ですよね

[penta @penta_math]

@HirokazuOHSAWA ありがとうございます！

[penta @penta_math]

@oshima_juku ありがとうございます！
そんな名前が付いているんですか、知りませんでした

[penta @penta_math]

@hibit_at 私は人間ではないかもしれないのでダメです

[penta @penta_math]

@chiguandyoshi ありがとうございます！

[penta @penta_math]

@NolmerPortion ありがとうございます！

[ノメル @NolmerPortion]

Z[√(-2)]がUFDであることから、x³=(y-√(-2))(y+√(-2))より、y+√(-2), y-√(-2)が互いに素であるからy+√(-2)=(a+b√(-2))³（a,bは整数）であるらしい。これで係数比較すると(3,5),(3,-5)のみだと分かる。
人の年齢は0以上なので(3,5)に限るとのこと。