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数学

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▨ 平均値の定理はロルの定理から
〈掲載題〉東京大2005-3, 京都大2021-6, 1999-6
ラグランジュの平均値の定理はロルの定理の一般化であるので、工夫した関数を置けばロルの定理を用いて簡単に証明できる。分子のf(b)-f(a)に着目して積分の形に書き換えると、積分の平均値の定理を導ける。

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ウォリス積分と二重階乗

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▨ 角変数の結合は和積積和か合成
〈掲載題〉和歌山県立医大2022-4, 聖マリアンナ医大2016-1, 京大理系後期2006-4
散らばった角変数をまとめるなら和積積和か三角関数の合成を利用する。関数を分離したいなら積和か加法定理で、角変数を分離したいなら加法定理を使えばよい。

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▨ 角変数θの導入は①扇形②(直角)三角形・線分比③回転
〈掲載題〉京大理系2007-4, 2017-4, 東大理系2003-4
角変数θは扇形の中心角か三角形の一角に対して導入する。直角三角形なら2角をθで表せる。そうでないなら角A,B,Cで正弦定理から始める。A+B+C=πの拘束条件に注意する。

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▨ 角変数の結合は和積積和か合成
〈掲載題〉和歌山県立医大2022-4, 聖マリアンナ医大2016-1, 京大理系後期2006-4
散らばった角変数をまとめるなら和積積和か三角関数の合成を利用する。関数を分離したいなら積和か加法定理で、角変数を分離したいなら加法定理を使えばよい。

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▨ 角変数θの導入は①扇形②(直角)三角形・線分比③回転
〈掲載題〉京大理系2007-4, 2017-4, 東大理系2003-4
角変数θは扇形の中心角か三角形の一角に対して導入する。直角三角形なら2角をθで表せる。そうでないなら角A,B,Cで正弦定理から始める。A+B+C=πの拘束条件に注意する。

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▨ コーシーシュワルツの不等式は内積から
〈掲載題〉早稲田大2007, 鳥取大2007, 東大理系(文系)1995-1
(a,b,c)と(x,y,z)の内積から考える。cosθ=±1のとき最大/最小をとる。任意の自然数nに対して拡張でき、等号成立は比が等しい、つまり2ベクトルが平行なとき。片方が0ベクトルのときも0=0より成立。

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▨ 円上3点は工夫して座標化
〈掲載題〉京大理系後期2006-4, 京大理系2002-2, 名大理系1972-5
円上の点は半径rと偏角θやx²+y²=r²を用いて座標化できる。座標化の代表例として
①3点を自由に設定
②2点対称で1点は自由
③1点固定して2点は自由
の3パターンある。点の範囲は問題に応じて定める。

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▨ 等面四面体の外接球は直方体から
▨ 等面四面体は外心・内心・重心一致
〈掲載題〉九大理系2020-3
等面四面体の外接球の直径は、それに内接する直方体の対角線の長さと等しい。また、等面四面体の外心・内心・重心は一致する。

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▨ 等面四面体は直方体に埋め込む
〈掲載題〉東大理系後期1996-2, 1993-1, 京大理系後期1999-4
等面四面体は直方体に埋め込んで考える。体積Vは直方体から隅の三角錐を4つ分除けば求まる。その場で直方体から考えればよいため、載っている式を覚える必要はない。

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▨ 等面四面体の外接球は直方体から
▨ 等面四面体は外心・内心・重心一致
〈掲載題〉九大理系2020-3
等面四面体の外接球の直径は、それに内接する直方体の対角線の長さと等しい。また、等面四面体の外心・内心・重心は一致する。

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▨ 正射影したら面積はcosθ倍
〈掲載題〉東大理系1983-6, 1988-2, 京大文系1998-2
斜面上の面積を正射影した場合、その面積はcosθ倍になっている。
逆に、正射影した面積を1/cosθ倍すれば斜面上の面積が求められる。

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▨ 角の二等分線は単位ベクトルの和と差
〈掲載題〉一橋大2025-4
角をなす2直線の方向ベクトルの単位ベクトルをそれぞれe⃗₁, e⃗₂とすると、
和e⃗₁+e⃗₂は内角の二等分線の方向ベクトルに、
差e⃗₁-e⃗₂(またはe⃗₂-e⃗₁)は外角の二等分線の方向ベクトルになる。

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▨ ΣnCkは二項定理の利用
〈掲載題〉岡山大2016-1, 慶應大2011, 大阪府立大2011
(a,b)=(1,1),(1,x)などとすれば比較的綺麗な式が得られ、両辺をxで微分するとΣ(kの式)nCkの形が得られる。
微分する際、Σの範囲が1ずつ狭まるのに注意する。例えばΣ[k=0,n]のときxで両辺微分するとΣ[k=1,n]となる。

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▨ x²+x+1ならωの利用
▨ ωを用いて次数下げ
▨ ω³=1, ω²+ω+1=0 (x²+x+1=(x-ω)(x-ω²)), ω²=ω̄
〈掲載題〉岡山大2016-1, 京大理系2003-4
x²+x+1の形を見たらωの利用を連想する。基本的には、ω³=1とω²+ω+1=0を次数下げに用いる。ω²=ω̄は実際に計算してみれば明らか。