整数問題bot

整数列の問題や整数に関連した多項式の問題なども整数問題とみなしています。中の人の数学力が低いため、問題が簡単に感じることがあります。整数を得点源にしたい人はぜひフォロー（受験生、数オリer向き）。たまに中の人の私情が流れます。

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難易度はbot主が
15分以内にできる→激易
15〜30分でできる→易
30分〜1時間でできる→やや易
1時間以上かかるけどまあ1日でできる→標準
何日もかかってできる→やや難
無理→難
になっています。

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[203]a²+b+3＝(b²-c²)²を満たす正の整数の組(a,b,c)を全て求めよ(2019年JMO本選1、激易)

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[176]y²＝x²＋x＋kを満たす0以上の整数(x,y)の組が2個となるような正の整数kを全て求めよ(第五回京進解法コンテスト、やや易)

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[173]nを2以上の整数とする。連続する3この正の整数の積はn乗数(正の整数mを用いてmⁿと表せる数)とならないことを示せ(2012年東大4改、易)

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[9]nを自然数とするとき、n²＋1と(n＋1)²＋1の最大公約数を求めよ(2012年第二回京大実戦模試理系6、激易)

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[149]以下の条件を満たす2006個の自然数を要素にもつ集合は存在するか
条件:どの異なる2つの要素をとってもその2数の差と2数の最大公約数が等しい
(大学への数学2006年2月号宿題、やや易)

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[248]3つの相異なる素数p,q,r(p＜q＜r)はどの2数の差(大きいほうから小さいほうを引いた値)も素数になるという。このような(p,q,r)の組を全て求めよ(2017年第一回京大実戦1、5分問題)

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[34]nはn≧2の整数とする。以下の2つの条件を満たす自然数a₁,…,aₙが存在するような自然数mの最小値を求めよ
・a₁＜…＜aₙ＝m
・n-1個の数((a₁)²+(a₂)²)／2,…,((a_(n-1))²+(aₙ)²))／2は全て平方数
(2013年JMO本選3、やや易)

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[100]nはどの桁の数字も1以上7以下であるような正の整数である。nは7の倍数であり、nの各桁の数字をどのように並べ替えてもやはり7の倍数になるという。このようなnとしてありうるものを全て求めよ(2012年JJMO本選2、3分問題)

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[99]以下の条件を満たす2以上の整数nを全て求めよ
条件:nの正の約数dであって、√n以下であるもののすべてに対しd²がnを割り切る。
(2014年JJMO本選1、易)

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[84]正の整数nについての条件P,Qを以下で定めるとき、PがQであるための必要条件か十分条件であるかをそれぞれ判定せよ
P nは平方数である。
Q nの正の約数の二乗和がnの正の約数の和で割り切れる
(大学への数学2012年5月号宿題、やや易)

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[53]p,qを素数、nを正の整数とする。xの方程式
x²-pⁿx+qⁿ＝0
が整数解を持つとき、(p,q,n)の組を全て求めよ(2012年第二回東大オープン3、易)

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[95]2n²＋1,3n²＋1,6n²＋1がどれも平方数であるような正整数nは存在しないことを示せ(2004年JMO本選1、やや易)

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[74]m,nを異なる正の整数とする。m,nが
・mとnはどちらも10と互いに素
・mとnの下1桁は等しい
・m¹⁰⁰とn¹⁰⁰の下100桁は等しい
を満たすとき、m+nの桁数の最小値を求めよ。必要ならばlog₁₀2＝0.30103を用いよ(東進数学コンクール第2回、やや易)

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[15]8ⁿ＋nが2ⁿ＋nの倍数となるような自然数nをすべて求めよ(2009年JMO本選1、易)

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[62]正の整数a,b,cが
1+2ᵃ+3ᵇ＝6ᶜ
を満たすとき(a,b,c)の組を求めよ(2014年JMO本選2、激易)

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[67]自然数nに対して
(√2+√3)ⁿ＝aₙ+bₙ√2+cₙ√3+dₙ√6
とし(aₙ〜dₙは整数)、sₙ＝aₙ+bₙ+cₙ+dₙとする。このときΣ[k＝1〜2013)sₖの一の位を求めよ(2013年東大寺学園後期中間考査(高3)、易)

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[221]以下を満たす正の整数の組(a,b)は存在するか。
・a+b=2020となる。
・abを10進数表記したときにおのおのの桁に2か0しか現れない。
(自作問題、易)

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[2]y²＝xⁿ−x＋2を満たす自然数n,x,yの組を全て求めよ(大学への数学2011年4月号宿題、激易)

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[272] (1+(1／a))(1+(1／b))(1+(1／c))=2を満たす正の整数の組(a,b,c)を求めよ(2010年第二回駿台全国模試理系4、3分問題)

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[247]m^(m+1)と(m+1)^mの差が1となるような正の整数mを求めよ(2012年第一回京大実戦6、5分問題)