長沢

30代

[長沢 @shindanchu]

検出力・第1種および第2種の過誤
仮説検定では、正しい帰無仮説を誤って棄却する第1種の過誤と、誤った帰無仮説を棄却できない第2種の過誤がある。検出力は対立仮説が真のときに正しく棄却する確率を表す。有意水準を固定した場合、標本数や効果量が大きいほど一般に検出力は高くなる。

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Wald検定・Score検定
Wald検定は、推定された母数が帰無仮説の値からどれだけ離れているかを標準誤差で評価する方法。Score検定は、帰無仮説の下で対数尤度の傾きがゼロからどれだけ離れるかを評価する。いずれも正則条件の下で尤度比検定と漸近的に同等の性質をもち、母数制約の検定に用いられる。

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尤度比検定・Wilksの定理
尤度比検定は、帰無仮説の制約下で最大化した尤度と、制約のないモデルで最大化した尤度を比較する方法。比が小さいほど帰無仮説に不利な証拠となる。Wilksの定理により、正則条件の下で対数尤度比統計量は漸近的にカイ二乗分布に従い、複雑な仮説の検定に利用できる。

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ネイマン＝ピアソンの基本定理（NP）
ネイマン＝ピアソンの基本定理は、単純帰無仮説と単純対立仮説の検定において、有意水準を一定以下に制約したとき、検出力を最大にする検定を与える。対立仮説と帰無仮説の尤度比が大きい場合に帰無仮説を棄却する方法であり、最強力検定の理論的基礎となる。

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ベイズ推定・事後分布
ベイズ推定は、母数を確率変数として扱い、事前分布と観測データの尤度から事後分布を求める方法。事後平均・中央値・最頻値などを損失関数に応じて推定量として用いる。共役事前分布を利用すると事後分布が同じ分布族に属し、解析的に計算しやすくなる。

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区間推定・信頼区間
区間推定は、標本から母数を含むと期待される区間を構成する方法。頻度論的な信頼区間では、標本抽出を繰り返したとき、構成した区間が真の母数を含む割合を信頼係数とする。正規母集団で母分散が未知の場合には、t分布を用いて母平均の信頼区間を構成する。

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フィッシャー情報量・CRLB
フィッシャー情報量は、観測データが未知母数について持つ情報の大きさを表し、対数尤度の曲率やスコアの分散から求められる。Cramér–Raoの不等式は、正則条件の下で不偏推定量の分散の下限を与える。下限を達成する推定量は効率的と呼ばれる。

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不偏推定・UMVUE
不偏推定量は期待値が推定対象の母数に一致する推定量である。UMVUEは、すべての不偏推定量の中で各母数値における分散が最小となる推定量。Rao–Blackwellの定理は十分統計量による条件付き期待値で分散を改善し、完備十分統計量があればLehmann–Schefféの定理によりUMVUEを構成できる

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十分統計量・因子分解定理
十分統計量は、標本がもつ母数に関する情報を、情報損失なく集約した統計量である。統計量を条件とした標本の条件付き分布が母数に依存しないことが特徴。因子分解定理により十分性を判定でき、指数型分布族では自然統計量が十分統計量となる。

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最尤推定（MLE）
最尤推定は、観測データが得られる確率や密度を最も大きくする母数を推定する方法。尤度関数を母数について最大化して求める。正則条件の下で一致性・漸近正規性・漸近効率性をもち、推定量の関数変換に対する不変性がある。一方、有限標本で不偏とは限らない。

[長沢 @shindanchu]

Slutskyの定理：確率収束する量と分布収束する量を組み合わせ、未知の母分散を一致推定量に置き換える際などに利用する。
連続写像定理：収束する確率変数を連続関数で変換しても、対応する収束関係が保たれる。
多変量デルタ法：複数の推定量の共分散行列と関数の勾配から漸近分散を求める。

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デルタ法（Delta Method）
デルタ法は、漸近正規性をもつ推定量に微分可能な関数を適用したとき、その変換後の漸近分布を求める手法。テイラー展開により関数の変化を一次近似し、導関数から漸近分散を導く。比率や対数など、非線形変換した推定量の区間推定に利用される。

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中心極限定理（CLT）
中心極限定理は、独立同分布で平均と有限の正の分散をもつ確率変数の和や平均を適切に標準化すると、標本数の増加に伴い標準正規分布に分布収束する定理。母集団が正規分布でなくても成立し、信頼区間や仮説検定の正規近似を支える。

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大数の法則（LLN）
大数の法則は、独立同分布の標本数を増やすと、標本平均が母平均に近づくことを保証する定理。確率収束を示す弱法則と、概収束を示す強法則がある。推定量の一致性を説明する基礎であり、標本数の増加によって偶然変動の影響が小さくなることを意味する。

[長沢 @shindanchu]

標本平均・標本分散の分布
標本平均や標本分散は標本から計算される確率変数であり、それぞれ標本分布をもつ。正規母集団では標本平均は正規分布、不偏標本分散を適切に標準化した量はカイ二乗分布に従い、両者は独立となる。この性質がt検定やF検定の基礎となる。

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順序統計量
独立同分布の標本を小さい順に並べたときの各値を順序統計量という。最大値・最小値の分布は元の累積分布関数から導かれる。連続分布では、累積分布関数で変換した第k順序統計量がベータ分布に従い、分位点推定などに利用される。

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ディリクレ分布
複数の非負の割合で、合計が1となるベクトルを表す連続分布。ベータ分布を多次元に拡張したもので、独立なガンマ変数をその総和で割ることで生成できる。多項分布の共役事前分布として用いられ、重みの不確実性の表現にも適する。

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多変量正規分布
複数の確率変数の同時分布を平均ベクトルと共分散行列で表す分布。任意の線形結合も正規分布に従い、周辺分布や条件付き分布も正規分布となる。同時正規分布では、無相関と独立が同値になる点が重要である。

[長沢 @shindanchu]

コーシー分布
独立な2つの標準正規変数の比から得られる、左右対称で裾の非常に厚い分布。平均と分散は存在せず、大数の法則の典型的な条件も満たさない。独立同分布の標本平均も元と同じコーシー分布に従うため、平均による推定の限界を示す代表例である。

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ワイブル分布
正の連続値をとり、形状母数と尺度母数によって分布の形や故障率の変化を柔軟に表現できる。形状母数が1なら指数分布となり、1未満では故障率が減少、1超では増加する。製品寿命や設備故障、信頼性分析などに広く利用される。