キンチョール

n=2
異次元の基礎固め
uts1志望
物理が好き

[かいだい @kaidai_valorant]

簡単に説明するとアインシュタインに多様体の構造を入れたもの

[はこ @hacoTwi]

ジュース②

[斉藤和也@TOEIC990 @kazuyaa_English]

東大本レで私の(去年の)生徒の方が数学全完しました。

この方は他塾などに所属せず私の授業のみで、東大模試の数学を50点付近から満点まで上げられています。
今回、満点は1人だけだったようです。

[薬袋善郎 @Ger81opi46]

「どうなったら『黄リー教』をマスターしたと言えるのか」が分からないという声があるようなので、お答えします。『黄リー教』は「英文を読み書きするときの頭の動かし方」を説明し、練習する本です。ですから、英文を読み書きするときに、『黄リー教』が教えるように頭が動くようになれば、マスターしたのです。

読解で言うと、英文を読んでいるときに「あれっ、ここがよくわからない」となったとき、自然に（＝特に意識しなくても「当たり前」のこととして）品詞・働き・活用という概念を使って英文構造を考えるようになれば、マスターしたのです。たとえば「この動詞は不規則活用で、これは過去形だ。したがって述語動詞だ、すると構造上の主語はどれだろう？」とか「この名詞は余っている（＝主語・動詞の目的語・前置詞の目的語・補語のどれでもない）。すると同格・副詞的目的格・beingが省略された分詞構文のどれかだ。どれだろう？」といった具合です。

別の基準を言いましょう。「複雑な構造、あるいは変わった構造で、自分では見抜けないのだが、正しい和訳を見れば、その和訳がどんなに意訳してあっても、品詞・働き・活用のレベルで構造がわかる」というのも、マスターした人の顕著な特徴です。

また、先日具体的に詳しくお話しした「事前予想（この読み方が正しいとすると、辞書にはこういう記載があるはずだという予想）をして辞書を引くようになる」のも、マスターした人の特徴です。

こういうレベルになると（＝マスターすると）今やっている「品詞・働き・活用を使って英文構造を考えて読む」読み方以外の読み方が想像できなくなります。「他にこういう読み方もあるが、比較すると、やはり『品詞・働き・活用を使って英文構造を考えて読む』読み方が一番いいな」と思うようだと、まだマスターしていません。言葉の真の意味において「これ以外の読み方が想像できない（したがって、他の読み方をしろと言われても、どうしてもできない）」状態になるのです。ですから、マスターした人は異口同音に「自分は前はどんな読み方をしていたのだろう。思い出せない」と言うのです。

要するに、一言で言えば「英文を読むとき常に『品詞・働き・活用』を考えて読んでいる」状態になれば「マスターした」のです。

ところで、「読み方をマスターした」のと「英文を読める」のはイコールではありません。読み方をマスターして、正しい頭の動かし方をして読んでも、読めない英文はいくらでも出てきます。それは英文が難しいからです。たとえば「構造は完全にわかるが、単語が難しくて、読めない」こともあるでしょう。「構造は完全にわかり、単語の意味もわかるが、内容が抽象的でわからない」こともあります。

「『黄リー教』をマスターすると、どんな英文も読めるようになる」この言い方は正しいです。しかし「どんな英文も読める」というのは「どんな英文にも対処する技術が身についている」ということであって、「どんな英文も意味が分かって、日本語と同じように読める」ということではありません。「何周もしているのに、マスターした気がしない」と言う人の中には、ここを勘違いしている人が結構いるのではないかと私は疑っています。

[薬袋善郎 @Ger81opi46]

「parsing技術は教科書含めて本当に復権してほしい」←私も強くそう思います。『黄リー教』より対象読者層を格段に広げた本を現在執筆中です。

[いっしき @issiki_kyoto]

☆ペル方程式の解の構造

完全に知識問題の🤡ホイホイなので一般論を暗記しておきましょう。

いろいろな話が出てきてぐちゃぐちゃするかもしれませんが、1番重要なのは次の定石です。
☆相方を持ち出せ
・a+√bと言われたらa-√b
・a+biと言われたらa-bi
・sinと言われたらcos
は相方であり、一緒に扱うと上手くいくことが多いので、何も言われなくても自分で持ち出しましょう。この知識だけで解ける問題も多いです。
類題：1993東工大後期2, 2003東大理系4, 2019早稲田商1(4), 2020京大理系2

まず、ペル方程式の概要について解説します。不定方程式x²-dy²=1 (x, yは整数, dは平方数でない自然数) をペル方程式と言います。dが平方数の場合は(x+√dy)(x-√dy)=±1という因数分解型に帰着するので、dが平方数でない場合が考察対象です。

ペル方程式の解は、
・x²-dy²=1は無数の解を持つ。
・x²-dy²=-1は解を1つも持たないか、無数の解を持つ。
ことが知られています。
例えば、x²-3y²=-1は解を持ちませんが、これはmod3で簡単に分かります。

この解の個数から予想されるように、ペル方程式には、解を1つ見つけるとそこから解を無限生成するアルゴリズムがあります。このアルゴリズムはざっくり言うと次のようなものです。これはパッと答えられるように暗記してください。

ペル方程式x²-dy²=1の最小の非自明解を(a, b)とし、(a+b√d)ⁿ=aₙ+bₙ√dによってaₙ, bₙを定めると、(aₙ, bₙ)はaₙ²-dbₙ²=1を満たす。さらにこの(x, y)=(aₙ, bₙ)がペル方程式の解のすべてである。

では、このアルゴリズムについて解説していきます。次の5ステップから構成されます。

①対称性の利用
ペル方程式はxを-x, yを-yとしても変わらないことから、x>0かつy>0で考えることにします。他の解は適当に±をつければ作れるからです。また、(x, y)=(±1, 0)という自明解がありますが、この解は無限生成につながらないので一旦無視します。

②最小の正の非自明解を見つける
無限生成のスタートとなる解を見つけます。最小と言ってもどのような基準で最小と言うかが不明瞭では困るので、きちんと定式化します。x+√dy>1を満たす最小の(x, y)=(a, b)をペル方程式の最小解と言います。この最小解を求めるのは意外と難しいですが、ポイントは☆相方を持ち出せです。

③n乗を展開する漸化式を作る
(a+b√d)ⁿ=aₙ+bₙ√d (aₙ, bₙは整数) によって数列aₙ, bₙを定めます。このとき、(a+b√d)ⁿ⁺¹=(a+b√d)ⁿ(a+b√d)からaₙ, bₙは簡単に漸化式が作れます。さらに、相方について(a-b√d)ⁿ=aₙ-bₙ√dが成り立ちます。これは二項定理からほぼ明らかですが、帰納法で示しておくのが安全です。
さて、連立漸化式(a+b√d)ⁿ=aₙ+bₙ√d, (a-b√d)ⁿ=aₙ-bₙ√dは、
・和と差をとるとaₙ, bₙが求まる。(係数交換型の連立漸化式のため。)
・積をとるとaₙ²-dbₙ²=1が分かる。つまり、ペル方程式の解を見つけられる。
一般項は汚いのであまり使いませんが、求まることは知っておいてください。これで解の漸化式ができたので、(a₁, b₁)=(a, b)からどんどん次の解を求めていくことができます。ペル方程式を表に出さずにこの漸化式が帰納法の練習問題として出題されることも多いです。

④単調性から解が無限に存在することを示す
③だけでは(x, y)=(aₙ, bₙ)が無限に存在することまでは言えません。途中で同じ項が現れて、以降は循環する可能性があるからです。どの組(aₙ, bₙ)も等しくないことを直接示すのは難しいですが、ペル方程式の場合、a₁<a₂<...<aₙ<...という単調性が言えて、ここから循環を否定できます。ペル方程式の問題以外でも「無限に存在することを示せ」と言われて循環を否定したい場合は「単調性の利用」を疑ってください。単調でもない数列の循環を否定するのはなかなか難しいはずです。
類題：2022千葉大7

⑤漸化式で得られる解がすべてであることを示す
漸化式(a+b√d)ⁿ=aₙ+bₙ√dによって、ペル方程式の解が無限生成できることは分かりましたが、他にも解があるかはまだ分かっていません。実はこれ以外に解はないのですが、それを示します。なかなか技巧的な方法です。a+b√d>1なので、どんな実数zも、nを上手く選ぶと、区間(a+b√d)ⁿ≦z<(a+b√d)ⁿ⁺¹に含まれます。同様に、x²-dy²=1を満たす(x, y)は、nを上手く選ぶと、区間(a+b√d)ⁿ≦x+y√d<(a+b√d)ⁿ⁺¹に含まれます。このように考えると「x²-dy²=1のとき、(a+b√d)ⁿ≦x+y√d<(a+b√d)ⁿ⁺¹ならばx+y√d=(a+b√d)ⁿであること」が帰納法で示せます。n=k→k+1の証明よりも、n=1のときの証明に手間がかかりますが、ここでも重要なのは☆相方を持ち出せです。

ペル方程式の解の無限生成アルゴリズムは以上です。この流れを暗記できていれば引用元の2015早稲田理工2, 1967京大理系4, 1985東工大1も単純作業として解けるはずです。

[いっしき @issiki_kyoto]

@rouninhuryoku モザイク貫通してますて

1991京大理学部後期2
1988京大文系後期2
1984東大理系3

[白星フウ @Shirahoshi_Fuu]

『東大理系数学2026-6』
母関数でf,gの具体的表示を与えてみると簡単

[いっしき @issiki_kyoto]

☆離散関数の増減
①階差f(n+1)-f(n)を考える
②階比f(n+1)/f(n)を考える(確率の最大値など)
③実数に拡張
のうち③の有名問題ですね

初見では無理だから1973名大, 2001東大文系で練習して次出たら反応できるようにしましょう🥸

[いっしき @issiki_kyoto]

複素数の方程式についてまとめました🤩(取らなくても受かるような問題ですがやや難の典型なので差をつけたい人はぜひ)

これで手引きの2-1と図形のPDFも合わせて複素数の見慣れないテーマの話は1通りしたので(共役解定理や1±zの極形式表示など有名なものが苦手なら各自で)残り1か月頑張ってください👍

[薬袋善郎 @Ger81opi46]

『コンパスローズ和英ライティング辞典』を推薦します。私はいつも「『字面』だけでわかったつもりになってはいけない。字面が表している『事柄（＝事実関係）』を考えなければいけない」と言っているのですが、これはすべての言語に共通することです。

[いっしき @issiki_kyoto]

これらのサイトはぜひ知っておいてください🥸

[いっしき @issiki_kyoto]

京都受かっても絶対受験やめない。
就職とか考えてない。受かっても京都や。

[薬袋善郎 @Ger81opi46]

「ブナの戦いが気になって調べた」←ずっと前にブナ戦について書いたことがあります。長いですが、関心がおありなら読んでみてください。
https://t.co/4DXMR95PCa

[研究社 @Kenkyusha_PR]

見出し語（英語＋日本語）と例文（英語）を収録した音声データが無料でダウンロード可能になりました。「読んで分かる」だけでなく「聞いて身につく」実践的な学習をぜひご体感ください。
高校生から大学生、そして語彙を体系的に再構築したい社会人までおすすめの一冊です。
https://t.co/ffmdsQQCPK

[いっしき @issiki_kyoto]

整数が苦手だと思ってる人はそもそも圧倒的に演習量とパターン化が足りてない

☆整数の特殊性
①素因数分解の一意性(因数分解)
②剰余の有限性(mod)
③整数の離散性(不等式)

ジアゲンがこれらだけで戦うのは不可能に等しい
もっと頻出テーマごとにこれらをどう使うのかを具体化して覚えていくべき

何言ってるか分からないかもしれないけど、参考までに主要なものを貼ります

☆素数
①因数分解
②実験してmod

☆倍数であることの証明
①連続積の作成
②因数分解+定式化+modごり押し

☆平方数
①mod(3, 4, 5, 8, ...)
②平方数の離散性
③文字でおいて因数分解

☆最大公約数
①ユークリッドの互除法
②ともに割り切る素数を設定

☆分数型
①|分数|≧1または=0
②分母が分子の約数が必要

☆指数型
①指数の爆発性
②n乗の因数分解
③累乗のmodの周期性
④二項定理
⑤指数と帰納法は相性抜群

☆階乗型
①階乗の爆発性
②n!はn以下の倍数
③中間の階乗で割る

☆方程式の整数解
①解は代入すると成り立つ
②解けるなら解く
・2次方程式なら判別式が平方数や0以上
・方程式に含まれる1次の文字について解くと分数型に帰着することも多い
③因数分解
④解と係数の関係
⑤グラフ(難問に多い)

☆あらゆる分野の最重要定石
・複雑な式は低次の文字について解く
・複雑な式は因数分解を疑う
・等式あったら文字消去
・日本語の条件は文字でおいて定式化
・求めるものを文字でおく
・同じ形やかたまりはおきかえよ
・対称性は保つor崩すの選択
・自由度が高くて困ったら場合分け
・nの証明は帰納法
・直接でだめなら余事象, 対偶, 背理法
・式でだめなら図やグラフ
・抽象的など困ったら具体化=実験

☆実験
①身近な数を代入する(n=0, ±1, ±2, ...)
②極端な場合を考える(n=±100, ±∞, ...)
③不適であってほしい値を代入して矛盾のからくりを見つける

☆漸化式を割った余り
・部屋割り論法から漸化式のmodは必ず循環するので、漸化式に1本線を加えてmodの等式にする

☆ガウス記号
①ガウス記号は整数([x]=mとおく)
②定義の不等式([x]≦x<[x]+1)
③成分表示(x=m+αとおく)
④実験
⑤グラフ

☆二項係数
①リーダーの公式(knCk=n(n-1)C(k-1))
②パスカルの法則(n-1Ck-1+n-1Ck=nCk)
③対称性(nCk=n-kCk)
④書き下し
⑤和の等式は二項定理の微積分

☆有理数と無理数
・有理数は何倍かすれば整数になるが無理数は別物という感覚が重要
・有理数を示すならx=整数/整数を示す
・有理数の条件を使うなら有理数の和差積商は有理数を使う
・無理数を示すなら背理法
・無理数の条件を使うなら無理数の相等

☆その他の有名知識
・x+yとx-yは偶奇一致
・連続2整数は互いに素
・連続2奇数は互いに素
・a, bが互いに素ならばa+b, abも互いに素
・abが平方数でa, bが互いに素ならばa, bはともに平方数
・pCkはpの倍数
・nが偶数はn=2mだけでなくn=2^(a)b(bは奇数)と素因数分解形でおくこともある
・a, bが整数でa>bならばa≧b+1
・n<x<n+1となる整数xは存在しない(逆に間隔が1以上ならば整数が存在する)

☆有名テーマ
・完全剰余系の基本定理
・べズーの定理
・マックナゲットの定理
・ペル方程式
・単位分数の和は整数でない
・レプユニット数
・格子点の幾何学
・n進法の導入

過去にも平方数や最大公約数の一部と階乗型あたりはPDF化したけど今後もちょこちょこPDF化していこうと思う

[薬袋善郎 @Ger81opi46]

「東大はやっぱりすごいのだなと実感しました」←「すごい」って言うかね、ここだけの話だけど、東大は昔から明言はしていないけれど（つまり『実践演習』の巻末のF.o.R.検定テストのような、もろにむき出しでparsingの力を聞くようなことはしないけど）parsingの力を巧みな問題で試しているんですよ。見る人が見れば、はっきりわかります。

この「文法上取り除かなければならない語が一語ずつある」って問題は典型的な問題です。各パッセージをparsingして「構造⇔意味のフィードバック」をしていくと、おのずから「この語がおかしい」って理詰めで確定できる。

単純な和訳問題だと、parsingの力がなくて、フィーリングで読んでいても、正解に近い和訳を作れてしまうことが多い。でも、この「一語を除かせる問題形式」だと、フィーリングでは確答できない。

こういう問題は、フィーリング読みの受験生ばかりが集まるような大学では出題できないのよ。出題しても「ヤマ勘によるくじ引き合戦」みたいなことになってしまって、「英語力を測る」という点で機能しないのです。

その意味では「東大はやっぱりすごい」と言えるかもしれないね。

[全弱帝/車力の多浪 @53kasudayo]

https://t.co/EiqwHeBvw9

[いっしき @issiki_kyoto]

平方数の離散性についての経験があれば発想自体はできると思う
あとは
☆不等式は誰でも思いつくゆるいものから試す
がポイント(はさみうちの問題でも最重要)