新・数学問題BOT

およそ2時間毎に数学(算数)の問題をつぶやきます。 暇つぶしにどうぞ！ 新企画: #日替わり2問チャレンジ もぜひ！ 問題募集↓

[新・数学問題BOT @Mathematica_2]

#日替わり2問チャレンジ
2026年3月28日　No.69

関数の極限から2題💡

数列と関数はデジタルかアナログかの違いはあれ、よく似た数学的対象であります✨

じっくり取り組みましょう💪

解答はまた明日〜✏️

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飛行機の模型を地上から仰角θ(0＜θ＜π/2),初速u(u＞0)で発射する。この模型の質量や空気抵抗は無視できるものであり、重力加速度はg(g＞0)とする。この模型に伸縮しない軽い糸の一端を取りつける。模型が発射後再び地面に到達した時、糸の模型から他端までの長さを求めよ。
(数学Ⅲ 教科書)

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半径1の円の内部に中心を同じくする長方形がある。この長方形の面積をS、周長をLとする。正の定数mに対してS-mLの最大値と最小値を求めよ。ただし、円の内部とは円周も含み、S=0でも長方形とみなす。

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二ヶ国A,Bが戦争をしている。それぞれの受ける損害はその時の相手の兵力に比例するという。
(1) A,Bの兵力x,yの関係を表せ。ただし比例正定数a,bを用いよ。
(2) 初期の兵力比をx:y=5:3とする。次の場合どちらがどれだけの兵力を残して勝つか。
(イ) a=b (ロ) a=2b (ハ) a=3b

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x^2+y^2=4をろくろとする。ろくろを原点中心時計回りに回転させる。それと同時に、天井から吊るしたペンを用いて中心が(1,0)で半径が1の円を反時計回りに、ろくろの2倍の速度で描くと、その軌跡によりろくろはいくつかの領域に分割される。このうち最も大きい領域の面積を求めよ。

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1/y=tanxとなるxをx=T(y)と表すことにする(y≠0)。次の7数が同じ値をとることを示せ。

4T(5)-T(239)

6T(8)+2T(57)-T(239)

12T(18)+8T(57)-5T(239)

8T(10)-T(239)-4T(515)

5T(7)+2T(79)

4T(5)-T(70)+T(99)

12T(49)+32T(57)-5T(239)+12T(110443)

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a,bを実数とし、a>0とする。
また、f(x)=1/{1+e^(-ax-b)}を定義する。
このとき、任意の実数cに対して、
∫[-c-2b/a→c]f(x)dx
を計算し、a,b,cを用いて表せ。
(R2 山梨大)

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空間内に原点O中心で半径1の球面Sがあり、S上の動点A,B,C,Dに対して
F=2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2)とおく。
(1) Fの最大値Mを求めよ。
(2) C(-1/4,√15/4,0),D(1,0,0)であるとき、F=Mとなるような点A,Bの組をすべて求めよ。
(R3 東京工業大)

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九点円の定理とは「任意の三角形の各頂点から下ろした垂線の足、各辺の中点、垂心と各頂点との中点の計九点は同一円周上にある」と言うもので、その円を九点円と言う。

(1) これを証明せよ。
(2) 一辺の長さが1の正九角形の外接円が九点円となる時、その三角形の面積を求めよ。

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n人が乗車したバスが2台同じ道路を走行していて、各停留所でどちらか1台からランダムに乗客が1人降りていく。どちらか一方のバスの乗客が0人になった時の他方のバスの乗客はk人であった。
(1) このような確率p_kを求めよ。
(2) kの期待値を求めよ。

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kは1以上、Nは2以上でk＜Nである自然数とする。1からNまでの番号が与えられた囚人が円卓の周りに時計回りに数が大きくなるように着席している。2番からk人おきに時計回りに処刑していき最後に残った1人の囚人を釈放する。この囚人の番号の条件を述べよ。
(ままこだて)

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(1) 円に内接する凸四角形ABCDのAB,BC,CD,DAの長さをa,b,c,dとし∠ABC=θの時、cosθ=(a^2+b^2-c^2-d^2)/2(ab+cd)が成り立つことを証明せよ。

(2) 任意の凸四角形は辺長を変えずに変形する事である円に内接させることができることを証明せよ。

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4つの面がすべて同じ面積となる四面体ABCDについて、次を証明せよ。
(1) 辺AB,ACの中点をM,Nとすると、線分MNはAB,CDと垂直である。
(2) 四面体ABCDの4つの面はすべて合同である。

[新・数学問題BOT @Mathematica_2]

半径Rの球面上に4点A,B,C,Dがあり、四面体ABCDの各辺の長さはAB=√3,AC=AD=BC=BD=CD=2を満たしている。Rの値を求めよ。
(H13 東京大)

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ある病原菌Cの検査薬は、Cに感染している人に対して誤って陰性と判定する確率が3%で、Cに感染していない人に対して誤って陽性と判定する確率が1%である。J国の国民にこの薬でCの検査を行うと全体の4%が陽性であった。J国民の中で陽性判定を受けた人が実際はCに感染していない確率を求めよ。(R2 佐賀大)

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nを2以上の自然数とし、0≦x≦1を定義域とする実関数f(x)=(1-x^n)^(1/n)について、次を示せ。

lim[n→∞]{∫[0,1]f(x)dx}^n=1

(math_akumon様)

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ある市民マラソン大会では、先着順に商品券が配られるが、制限時間10分前に配布終了してしまった。ある夫妻がこの大会に参加して、夫はπ+φ時間で、妻はπ+e時間でゴールした。制限時間が6時間であるとき、この夫妻は商品券をもらえたか。ゴール時間を具に表して答えよ。

(フォロワー提供)

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xyz空間内の放物線C1:y=x^2-2とC2:x=y^2-2がある。C1をy軸周りに、C2をx軸周りに回転させてできる曲面2つに囲まれる領域の体積を求めよ。

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複素数zの複素共役をz*と表す。複素数平面上で等式zz*+(1+3i)z+(1-3i)z*+9=0を満たす点z全体の表す図形をCとする。
(1) Cを図示せよ。
(2) 複素数wに対しα=w+w*-1,β=w+w*+1としw,α,βの表す点をP,A,Bとする。PがC上を動くとき△PABの面積を最大とするwとそのときの△PABの外接円を調べよ。
(R2 筑波大)

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冪級数
f(x)=1+∑[n=1→∞]{∏[k=1→n](2k-1)/(2k)}x^n
について
(1) 収束半径を求めよ。
(2) y=f(x)が2(1-x)y'=yを満たすことを示せ。
(3) (2)の微分方程式を解くことで、f(x)をxの具体的な式で表せ。

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(1) ある投手Oは毎回150gの球を165km/hで投げることができる。球速がOの体格と球の重さに比例するとすれば、第二宇宙速度で投球できる場合、Oと球はどのように変異されるべきか？
(2) (1)のOが地球をちぎって1分間隔で投げる時、地球がバラバラになるのにかかる時間を秒単位で求めよ。
(頭脳王プレ)