むしゃむしゃおばけ

適当に見つけたこと呟くつもりです。ここで証明するには余白が足りない( ﾟдﾟ)

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

良問、ただFEの長さの情報なくても良いと思う

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

『いかにして問題をとくか』という本に初等的ながら面白い問題があった。

「0から9までの数字を一度づつ使って和が100になるような数式は作れないことを示せ」

例)
12+3+4+5+60+7+8+9=108
19+28+30+7+6+5+4=99

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

@mathgorst
このとき自然数m≦nと整数xに対して
fm(x±2^n)=fm(x)±2^(n-m)3^N(x,m)
が成り立つ。(符号同順)
特に
fm(x)=(fm(x+2^n)+fm(x-2^n))/2

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

f:Z→Z
f(x)=(3x+1)/2 (x:奇数) x/2 (x:偶数)
fn:fのn回合成(f0は恒等写像)
x∈Z,m∈Nに対し
N(x,m)=# {fi(x):odd|0≦i≦m-1}
とおく.

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

(予想)
π(n):=n以下の素数の総数
として素数pを一つ固定する.
素数qに対して
r(q):=pをqで割った余りと定める.
このとき
Q(n):=(2/π(n))Σ[q:n以下の素数]r(q)
とおけば
lim[n→∞]Q(n)=p

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

@mathgorst (2')は次と同値
(3')a,b,c∈N\pNが存在して①②のいずれかを満たす
①4a|a+pb+cかつ4b|pa+b+cかつ4c|a+b+c
②4a|a+b+pcかつ4b|a+b+pcかつ4c|a+b+c

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

2つの自然数s,tについて次は同値
(ア)s=a+b,t=ab(a,bは自然数)と表せる
(イ)s^2-4tは平方数

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

@mathgorst 特にp≡1(mod 4)のとき(1)は次と同値
(2')a,b,c∈N\pN((a,b)=1かつ4c|a+b+c)が存在して
4ab|pa+pb+cまたは4ab|a+b+pc
を満たす

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

a,bを正の実数とすると
lim[n→∞](a^n+b^n)^(1/n)=max(a,b)

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

a[n-1]が奇数なら
a[n]=3a[n-1]+1
a[n-1]が偶数なら
a[n]=a[n-1]/2
となる数列a[n]について
(いわゆるコラッツの問題で)
Σ[n=0→∞]a[n]z^nの収束半径は1/3以上で特にa[n]が循環するときは1となる。

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

αを実数とする。
任意のε>0に対して
|m - 2αn| < ε
を満たす自然数m,nが存在する。

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

任意のε>0に対して
|n - 2πm| < ε
を満たす自然数m,nが存在する

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

Zと同型な環R作ってみた
(a,b)〜(c,d)
⇔a+d=b+c
R=N×N/〜
[a,b],[c,d]∈R
[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]
[a,b]・[c,d]=[ac+bd,ad+bc]

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

@mathquestionakt リプありがとうございます。なるほど、そちらの方が早そうですね！空き時間に試してみます〜。

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

@mathquestionakt 解いてみましたのでリプ失礼します。
https://t.co/GUxual7v84

[自作数学問題bot @mathquestionakt]

(16)
n^m=m^n (m、nは自然数)を満たすm、nの組み合わせを求めよ。

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

「メビウスの帯の表裏をなぞるこの演奏は永遠に続く」だそうです￣ェ￣？
現代数学10月号(現代数学社)

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

虫食い算。循環少数であることしかヒントがないので少し何を言っているのかわからない!?(･_･;?

[むしゃむしゃおばけ @mathgorst]

何も浮かばないです。
もう毎日、体の勉強で頭が一杯でほかのことやる暇ないです。
(あ、カラダではありませんよ(^^;;))