数学するひよこ

ここでは主に数学について呟きます。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@potetoichiro 出来ました！厳し目の要求の割には少ない手順にできたかな、と思います。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@yes_iamyes 英語圏におけるX(ローマ数字のXですよね？)って、記数法における位を表す文字なんですか？

「十」のもとになった古代中国の数字も、Xも、9の次でまとめる、という価値観のもとにできた数字ではあるものの、位取り記数法以前からある文字であるため、基数に依存しない数自体を表すと考えています。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

そうそう、10は9の次の数を表すとは限らない(記数法による)。

一方で、十は九の次の数を表すため、私は十進法と書くことにしている。
高校までの教科書がそうなっていないのは不思議。

[たかし @yes_iamyes]

むしろ、全ての　N進法　は１０進法なのでは？という。我々の数値体系は９+１進法と書くべきでは？

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@L0stL0v3_271 それはその通りですが、「8」を知らない人に「7の次の数」と説明するのと同じではないですか？今回の区別とは関係がありません。

私が話しているのは、話題の基数によって「10」が表す数は変わる一方、漢数字としての「十」が表す数は変わらない、ということです。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@L0stL0v3_271 「十三進法」と書きます。

例えば、「10」は三進法では三を表しますが、漢数字の「十」は三進法の話をしていても九の次の数、すなわち三進法での101を表す、という区別の話をしていました。
「十も桁上り」というのは、どういう意味でしょうか？

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

私もWolfram Cloud で検算したが、確かにヤコビアン予想の反例になってる……

[levent @__alpoge__]

hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final

((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z): \C^3\to \C^3, has jacobian determinant -2, and sends (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), and (-1, 3/2, 13/2) to (-1/4, 0, 0)

[levent @__alpoge__]

hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final

((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z): \C^3\to \C^3, has jacobian determinant -2, and sends (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), and (-1, 3/2, 13/2) to (-1/4, 0, 0)

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

穴を1つ空けて球面になる曲面がない以上、むしろ穴が0個なのは球面で、そこから穴を何個空けたかで考えるべきでは？とか言われたら、私はなんも反論できないなぁ。

[アニメアイコン @the_drunken]

生地の糸の隙間が無数にとかいう屁理屈は置いといて、トポロジーで言えば穴は15個だけど、リプには16個と答えてる人が多いのが興味深い。
スカートの穴を2個だと思う人は殆どいないだろうけど、Tシャツの穴は4個だと思う人が多いのは何故だろう？

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@TNK_Kazuaki 両方「ちょっと」だから、リプシッツ連続っぽいってのはわかる。

1次近似可能性=微分可能性、0次近似可能性=連続性
を考えると、連続と微分で認識が変わるのはちと面白い。

ちなみに、「入力をちょっとズラしても出力はちょっとしかズレない」にすると，一様連続性っぽくなる(？)よね

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

fの点aでの連続性、極限の式的には

「xをaに近付けるとf(x)はf(a)に近づく」

だけど、私としては、

「xをaからちょっとだけ動かしてもf(x)はf(a)からちょっとしか動かない」

という表現の方が馴染むんだよな。

ここらへんの感覚って、分野とか人によるのかなぁ。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

学生に伝えるときには、「入力をaからちょっとずらしても出力がちょっとしかずれない」みたいにいうかな。

入力のズレと出力のズレの関係に注目するのが微分学なので、そういった事を早い段階からすり込んでいく。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

fの点aでの連続性、極限の式的には

「xをaに近付けるとf(x)はf(a)に近づく」

だけど、私としては、

「xをaからちょっとだけ動かしてもf(x)はf(a)からちょっとしか動かない」

という表現の方が馴染むんだよな。

ここらへんの感覚って、分野とか人によるのかなぁ。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@jh1cvo 私は物理屋さんではないですが、工学系の学生に数学を教える機会が多いので連続性の気持ちとしてそのように教えることが多いです。

関数の各種連続性や、微分、テイラー展開などを入力のズレを使って表現することが多いと、そういう感覚になるのかと思います。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@Science_Release 無限個の球体の部分については、Banach–Tarskiの定理のセッティングとは別の話、という補足があれば問題なさそうです。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@Science_Release 球体を可算無限個の部分集合に分割して組み合わせる事で、同じ大きさの球を可算無限個作れる、という主張は正しいはずです。

ただ、Banach–Tarskiの定理で扱う「有限個の部分集合に分割して組み合わせる」よりも強い操作になるので，別文脈にはなるかと思います。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@Science_Release Banach–Tarskiの定理で扱う有限分割合同では、元の球と全く同じ球を任意有限個作ることができますが，無限個だとできないかと。
有限分割合同では有界な集合を非有界にはできないので。

同じ大きさの球でなくてもよいなら、一応可算無限個作れますけど。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

一方で、例えばfとgがどちらも有理式か指数多項式なら、自動的にg(1)=0が従ってチェックに通るってのはいえる。この理由は考えておきたいところ。

普通なf,gなら必ずチェックに通るよって言えたらいいんだけど、普通の範囲を納得いく形で定めるのは難しい…

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

階差数列が何であろうと、「2以上の整数nに対するf(k)のk=1からn-1までの和」g(n)の、閉じた式での表し方次第でチェックに通るかが変わるよね。
g(1)=0ならn=1で通るし、g(1)≠0なら通らない。

g(n)の式に|n-2|-(n-2)の定数倍を加えればg(1)の値は変えられるので、階差数列側だけの問題ではない。

[ぬまち #疑わしきはバツせず @numachi11111]

先日の授業で、「階差数列の n=1、必ずチェック通るんですが、これいりますか？」と生徒が聞いてきた。
気づいてしまったのね、鉄郎…

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@kadamasaru なるほど！

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@kadamasaru あ、yの分子は1-cosxです。書き間違えました。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

@kadamasaru 不完全ですよね。

y=(1-cos^2(x))/x^2
に対してy=(-y+sin^2x/x^2)/cos(x)という等式を得ているので，これをyについて解いてx→0とすれば、ある意味正当化はできますが……

ところでこれって，半角公式使って導くのが想定なのですか？1+cos(x)を分母分子に掛ける方法で教えてきていましたが。

[数学するひよこ @mathmathpiyopi1]

√(3^2)=±3は真だが，計算問題の答案としては(普通は)正解ではない、って事だよね。「正しい」は多義性が高い……

私はオーダー記法みたいに、集合だと思ってイコールではなく⊆で見るようにしているから，3=±3は真、±3=3は偽と判断しているけど、大澤先生はどうなのか気になる。

[大澤裕一 @HirokazuOHSAWA]

念のためですが、例えば
　√(3^2)=±3
は正しいですが、
「√(3^2)を答えよ」
に対して±3と答えるのは、（普通は）誤りです。