常微分方程式入門

物理を使うすべての人へ

当該書籍からの抜粋を不定期につぶやく著者アカウントです。
あくまで独り言なので返信は期待されませんようにお願いします。

[常微分方程式入門 @ode4phys]

ありがとうございます…!!
ご紹介いただいた写真の3枚めは§1-1の練習問題です。 そのあとの練習問題の多くは、解の書き方が１とおりに決まらないため模範解答を載せていないのですが、それに代わる補足資料を用意してありますので、答え合わせにご活用いただければ幸いです。
https://t.co/CrPrtsBSLL

[日本評論社 @nippyo]

【2022年のベストセラー】
『常微分方程式入門　物理を使うすべての人へ』
大信田丈志
常微分方程式は応用数学の出発点。何が本質で重要かを考えながら行ってきた物理工学系1年生の授業から生まれた入門書。微分方程式の本ですが差分方程式も登場します。田崎晴明先生推薦！
https://t.co/VUSgEk82F2

[常微分方程式入門 @ode4phys]

わりと汎用的な枠組みであるはずなんですよね。
一部の書籍ではなぜかラプラス変換に特有の考え方みたいに扱われていますが…。
https://t.co/NPpR3Y072a

[常微分方程式入門 @ode4phys]

「変身」と「変身解除」

[常微分方程式入門 @ode4phys]

「変身」と「変身解除」

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@theory_pra こんにちは。
既に図鑑にある定理を使って別の定理をゲット、みたいなのをうまく仕組みとして組み込めたら面白いかもしれないですね。

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@KEI_Ichinomiya それは確かに注釈や但し書きがないと紛らわしいですね。「（非減衰系のモードを基準に考えると）減衰の効果はモードの連成として現れる」という話で、カッコ内の但し書きが暗黙の了解か何かで省かれていたわけですか…。

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@KEI_Ichinomiya おはようございます。
察するに
「もとの問題（モード分解可）」＋「何らかの摂動」
のような状況でしょうか。
摂動が非線形ならモード連成とかモード結合とか言うのも自然という気はしますが、摂動が線形だった場合は、摂動後の問題も独立したモードで書けるはずなのに紛らわしいことになりますね。

[常微分方程式入門 @ode4phys]

そういえば、イタリア語では ひとに何かを促すとき pure（プーレ）って言うらしいんですよね。
たとえば来客に "Entra pure!" と言うのは、もしかして「入りなさい、純粋に」ということなのでしょうか。

[ラテン語さん @latina_sama]

「ピューレ」はフランス語puréeが元で、puréeの元の意味は「純化された」です。英語のpure「純粋な」と同じく、ラテン語purus「純粋な」にさかのぼれる言葉です。

[常微分方程式入門 @ode4phys]

「複素数を解く」って何だろう…？

[常微分方程式入門 @ode4phys]

半減期を「寿命」と呼ぶことがあるのが誤解のもとかもしれませんね。どちらかというと「くじ引きの繰り返しによる間引き」のようなもので、それを「寿命」と称するのは、考えようによっては相当なeuphemismという気もします。
https://t.co/32XkrMjYP4

[常微分方程式入門 @ode4phys]

dh/dt = −k h^α の形の法則に従って減っていくものは色々あり、特に α=1 の場合には微分方程式を持ち出すまでもなく「半減期」で扱うのが便利なのですが…。

素人にありがちな誤解
→ 直線のグラフ（α=0 の場合）しか考えていない。

素人以外にありがちな誤解
→ なんでも α=1 でいいと思っている。

[常微分方程式入門 @ode4phys]

dh/dt = −k h^α の形の法則に従って減っていくものは色々あり、特に α=1 の場合には微分方程式を持ち出すまでもなく「半減期」で扱うのが便利なのですが…。

素人にありがちな誤解
→ 直線のグラフ（α=0 の場合）しか考えていない。

素人以外にありがちな誤解
→ なんでも α=1 でいいと思っている。

[常微分方程式入門 @ode4phys]

ご解答ありがとうございました。６割以上の方のご明察どおり、α = 1/2 でシミュレーションをしています。有限の時間で排水が完了するのが面白いところです。
https://t.co/4HjtcQPtJT

[常微分方程式入門 @ode4phys]

導関数を df/dx で書いたうえで何かを代入する件、
(df/dx)(g(t))
(df/dx)|_{x=g(t)}
などはいいけれど
(df/dx)(g(x))
は異なるxが2回現れる時点で気持ち悪いですね…。
たとえば f'(x+a) に相当するものをうまく書けないのは（私はLeibniz記法推しですが）Leibniz記法の限界なのかもしれません。

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@latinamdiscamus おはようございます。
つまりオフチョベットしたテフをマブガッドして…

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@MarinesNumber26 おはようございます。
これは確かにありますね。拙著も基本的には dx/dt のような書き方を推奨していて、それでもどうしてもプライムを使いたかったら x' ではなく x'(t) のように書け、という趣旨の注意書きを付けました。
https://t.co/KFII2n2zLF

[Marines背番号26@ @MarinesNumber26]

何が必要か？

まずは微分をy'ではなくdy/dxと書くことから始めよう😄
ライプニッツ先生に感謝🙏

[常微分方程式入門 @ode4phys]

2次方程式の解の公式の中身が平方根であるように、微分方程式を解く"公式"の中身は積分です。1階微分方程式だとその原則どおりの授業が多いと思います。
ところが2階以上になると積分が背後に隠れてしまうことが多いようです。じつは1階でもこんな例（↓）もあります。
https://t.co/Ch12UgsdOt

[わんみん | 高専生・大学生のための数学解説 @1min_pro]

←微分して解く微分方程式
→微分すらせず解ける微分方程式

[常微分方程式入門 @ode4phys]

方程式にもいろいろあるが，たとえば1次方程式の解き方を学ぶときは掛け算と割り算について既に知っていなければならないし，2次方程式の解き方を学ぶには，その前に2乗と平方根について知っていることが前提となる。
では，微分方程式の解き方を学ぶには何が必要なのだろうか？

[常微分方程式入門 @ode4phys]

積分よりも微分が好きなみなさま：
常微分方程式を解く講義は微分三昧かと思ったら出てくるのは積分ばかりだというのは「あるある」ですが、そこで定数変化法を使うと微分がたくさんできて楽しいですね…！（？）

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@Nectari_salam Haben Sie schon gefrühstückt?
Ohne Mampf kein Kampf. Na ja, ich weiß, dass Sie den Kampf hassen, aber heute gibt es einen Kampf gegen das Unglück. Ich wünsche Ihnen viel Erfolg!

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@smartserghash You are right. This morning, having noticed that one should switch to something global (like Fourier analysis), immediately I was faced with another question: is it a good choice to take the interval [0, pi] with uniform weight? It did not reproduce the coefficient unity.

[常微分方程式入門 @ode4phys]

面白いですね。しばらくいじってみましたが、なぜこんなにきれいになるのか不思議です。
いちおうの解答としては、問題を
exp(−x²) = (1 + cos θ(x))/2
を満たす θ(x) の近似式を探せ、と読み替えて
θ'(x) = a + b cos x
の形を仮定し、x = 0 まわりの冪級数で辻褄合わせをすると出てくるようです。

[いちごじゃむ @1strawberry_jam]

どうやら y=cos(sinx+x) のグラフは 正規分布のグラフにめちゃくちゃ近いっぽく、何か背景があれば教えてください...

[常微分方程式入門 @ode4phys]

ちょっと補足します。どんな x の範囲で考えるか。
• Taylor展開は当然の初手だが、それだけだと x = 0 の近くのことしか言えない。
• 周期性のある関数で周期性のない関数を近似している以上、全範囲での一致もあり得ない。
• 考えるべきは「なぜ |x| < 3 の範囲でこれくらい一致するのか」では。

[Tomoki UDA @t_uda]

半角変形して対数空間で比べると高次の構造も見える．H = -2 log cos (z + sin z)/2 = z² + O(z⁶) とおくと，原点最寄り対数特異点が z = ±π なので，Cauchy 公式により高次係数が O(1/(mπ²ᵐ)) で指数減衰する評価が出る．よってガウシアン相対誤差はめっちゃ小さい exp(x² - H(x)) - 1 が制御する.

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@aps7676 そうですね。
こちら https://t.co/Ph2qFII4c2 でいう h₁ と h₂ は、一見すると何を選んでも良さそうに思えますが、より広い範囲での近似には、どうも他の関数ではなく sin であることが何らかの形で効いているようなのです。高次の項のキャンセルを見るのもひとつの有効な方法かと思います。

[aps @aps7676]

一般に偶関数f,gと奇関数h1,h2について、h1とh2の１次と３次の項からなるベクトルが線形独立、f(0)g(0), f’’(0)g’’(0)>0ならばf(x)=ag(bh1(x)+ch2(x))+o(x^4)となるように実数a,b,cを選ぶことができる。ただしこれらの関数は滑らかであるとする

[常微分方程式入門 @ode4phys]

@aps7676 ある意味ではおっしゃるとおり、x = 0 の近くで合うのは当たり前なのですよね。
不思議なのは、x = 0 の近くでしか合わせていないのに、もっと広い範囲で合ってしまうこと。そして何らかの展開や反復に落とし込んだら近似を改良できそうなのに、意外に難しいこと。そのあたり非自明なものを感じます。