projectiveX

塾講師をしながら、数学の研究をしています。専門は代数幾何学です。東京大学理学部数学科、東京大学大学院数理科学研究科卒業。
大学には所属していませんが、高次元複素代数多様体のモジュライ空間の研究をしています。具体的にはプロフにあるwebsiteを見てください。現在、次の論文を書くための準備の勉強をしています。

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僕は数学の古典は学ぶべきだと思っています

・不変式
・超幾何関数
・初等整数
・線形微分方程式

これらに精通していると、数学のリアリティと解像度が段違いに高くなります

最新の数学の理解度も格段に高くなると思います

音楽でも、現代曲にいくまえに古典音楽の素養が必要なのと一緒です😊

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つき指していて長文がタイプできないので、AIに解説を頼みました。
今日公開された最新の論文の解説記事です。

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【論文紹介】 射影超曲面のGITモジュライ空間の境界において、特異点の度合いがどのように振る舞うかを鮮やかに解明した論文です。
Title: Uniformity of the minimal exponent on the GIT boundary of projective hypersurfaces Author: Yasutaka Shibata

特異点論やD加群理論で重要な不変量「大域的極小べき（global minimal exponent）」について、ごく最近（2025年）S. G. Parkにより「P^n 内の次数 d の超曲面 X がGIT安定でないならば、極小べき \tilde{\alpha}(X) は必ず (n+1)/d 以下になる」という上限不等式が証明されました。
本論文は、このParkの不等式が、モジュライ空間のGIT境界（厳密半安定軌跡）を構成する【すべての】既約成分において一様に最良になること、すなわち、境界のどの成分であってもその一般元においては極小べきがぴったり \tilde{\alpha}(X) = (n+1)/d に張り付くことを証明したものです。

証明の最大のハイライトは、局所的な解析的指標である極小べきの計算を、GIT特有の凸幾何学的な性質へシームレスに還元している点です。論証は以下のような極めてエレガントなステップを踏みます。
母線に沿った下半連続性を用いて、全体の極小べきの下限をアフィン錐の頂点における局所極小べきに帰着。

極大トーラス作用により境界を単項式族で被覆し、Mustaţă-Popaの定理から頂点での局所極小べきを単項式イデアルの対数標準閾値（lct）と同一視する。

イデアルのlctはHowaldの公式（ニュートン多面体と対角線の交点）で求まるが、ここでGITの「厳密半安定性」が決定的に効いてくる。半安定性から、単項式の台（support）がなす凸包は必ず次数 d の単体の「重心」を含むことが要請される。

この「重心条件」により、対角線が多面体に進入する点は境界成分に依らず必然的に重心そのものとなり、lct = (n+1)/d が寸分違わず弾き出される。
この下からの評価とParkの上限不等式を挟み撃ちにして、見事に等式が得られます。
一見すると境界成分ごとに多様で複雑に振る舞うはずの特異点が、なぜ (n+1)/d という定数に一斉に揃うのか。その理由を「半安定性が強いる重心の凸幾何的条件」というシンプルなメカニズムを通して完全に説明しきっています。
特異点の不変量とモジュライ理論が見事に交差する、非常に爽快な洞察を与えてくれる一編です。ご興味のある方はぜひプレプリントに目を通してみてください。

[Algebraic Geometry Papers @AlgebraicPapers]

Uniformity of the minimal exponent on the GIT boundary of projective hypersurfaces

Yasutaka Shibata
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@AxhrkTheSeeker コメントありがとうございます

計算工学に応用できるとしたら凸幾何学の使い方かもしれません

今回は凸幾何学と代数幾何学を融合させました

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新しい論文を公開しました

いままで書いた２本の論文で観察された不思議な現象に、証明をつけて謎を解明しました

またあとで、詳しく解説します

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いままで２本の論文を書いてきました。

Cubic fivefold
Quintic threefold

これらのmoduli spaceのGIT boundaryを詳細に解析してきました

これらのboundaryの各既約成分のgeneric memberのminimal exponentを計算すると

Cubic fivefoldでは7/3
Quintic threefoldでは1

にぴたりと張り付くという、強い剛性が観察されました

これらは定義どうり考えるとバラバラになるべきなのですが、なぜか一様に揃っている

この不思議な現象を解明したいというのが今回の論文のモチベーションでした

（突き指しているので長時間タイプできないので、あとで続きを書きます。）

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@buzzlight0223 チャットでなら、お話できますよ😉

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今日は超幾何関数の勉強をしてます

2変数の超幾何関数から２本の偏微分方程式を導き、
それらを変形してPfaff系を導く計算をフォローしました

非自明なrelationを導いて、微分方程式を線形微分方程式に変形させるのは
まさにD加群のアイデアの源泉だと思います

おそらくですがD加群を作った人たちは
徹底してこういう計算をガリガリやって
一般論を作ったのだと思いました😊

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AI関連のポストをすると
異常にXでバズってしまい
数学クラスタでない人の目にとまってしまい
暴言を書かれることがあるので

・一時的に鍵垢にします

フォロワーさんに伝われば十分です😊

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今までの数学は手工業でした
職人芸の素晴らしい手作りの品々が賞賛されていました

これからは、全てとは言いませんが、
精密な工業製品のようになっていくのではないでしょうか？
だから、簡単にAIでポンと作った単品の部品のような論文にはあまり価値がうまれず

もっと複合的で総合的で、全体としてしっかり機能する論文のみ価値がでてくるのではないでしょうか？

すなわち、AIをつかってすら簡単に解けず、何年も試行錯誤をして、ようやく解けるような問題を解決した論文に価値がでてくるのだと思います

つまりエヴァンゲリオンに乗ったからには、車をあしでボンと踏んづけてもすごくないわけで、
迫り来る使徒を撃破するくらいのことをして初めて価値が生まれるのではないでしょうか？

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今日、新たに書き始めた論文は、いままでの論文よりずっと巨大な構造をもちます

そのため、はじめからAIを使う計画で進めています

・むしろAIをオーケストレーションして適切に計算や論理を進めていく

・その後Leanをもちいて正しさを検証し、ハルシネーションを防ぐ

このような体制で進めていく予定です

数学的内容も大切ですが、AIを使いつつ正しさを保証するにはどうすれば良いかということの実験も兼ねています

言い換えればAIという火で鉄を熱し、人間が鍛造して、Leanという水に入れて冷ます

ここで一番肝心な過程はじつはLeanによる検証なのではないかと思っています

AIによる数学研究をデザインする実験ということをおこなってみたいと思っています😊

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おそらく、これからは数学の英雄は生まれにくくなってきていると思います

しかし、それと同時に、いままで解けなかったような巨大な問題が、適切なAIの使用で、解けるようになってきています

そこで、大切になるのが、「自分が英雄になる」と望むよりも「数学に貢献したい」と望むほうがよいと思っています

もし、自分は英雄にならなくてもいいから、数学に貢献したいと望むならば、その夢がかなう可能性はぐっとましてきました

前にも言いましたが、AIはエヴァンゲリオンの機体であって、人間はパイロットです
エヴァに乗ってシンクロすれば、巨人になれます

ほんとうに巨大な問題と格闘できるようになっています

でも優秀なパイロットになるには、人間のほうも今まで以上に勉強して、賢くならなければなりません

つまり数学の勉強を続けなければならないことに変わりはないのです😊

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超幾何関数の勉強はGKZの勉強に入りました

GKZとは超幾何関数が発展していって高度になったものだそうで、これから勉強していきます

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今日は、過去に書きかけていた論文を読んでみて
これはいずれ世に出すべきだと思い
初めから書き直しはじめました

こんどはLeanによる検証を一部につけて出したいと思います
特にAIに計算を任せた部分は、Leanで正しさを検証させたいと思います

いずれにせよ、早くても来年に公表です😊

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超幾何関数の勉強をしまくっています
関連する本もいろいろ注文しました

直感的にこれは知識・教養レベルではなく
血肉にせよ、と本能が言っているので

徹底的勉強して、消化・吸収していこうと思います！

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スマホが折りたためるだけで４０万円くらいするらしい
そんなの買ったら、心が折りたたまれるw

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@buzzlight0223 なるほど。頑張ってください！

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代数幾何学は独自の学問であって
それを自由自在に操るには、
独自のOSを頭にインストール必要があります

それが可換環論とスキーム理論です

時間はかかりますが、ここを乗り越えると、非常にエキサイティングな世界がまっています

無機質な勉強が続くので脱落する人が多いのですが、
そういうときは複素多様体を勉強してイメージを補強すると良いと思います

アフィン代数幾何であっても、代数幾何学のスタンダードなOSは必要になると思います

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@buzzlight0223 テンソル積だけではなくて
可換環論とスキーム理論を系統だって、包括的に学ぶ必要を感じます

まず代数幾何学を走らせるためのOSをインストールする必要があるとおもいます